Parseval等式
设可积函数 上一致收敛于 的 Fourie 级数在区间 , 则成立 Parseval 等式
.
证明
注意到此时函数
在区间
可积 , 由 Bessel 不等式, 有
.
现证对
,
有
.
事实上,
令
由
一致收敛于
,
对
有
对
, 因此 ,
,
即当
时有
.
令
由
,
的任意性, 有
.
.
综上即得所证 .
Fourier级数与三角级数的区别：Fourier级数 是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积 函数的Fourier级数. 一个三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数 的Fourier级数 ) 的必要条件为:
预备定理 1 ( Bessel 不等式) 若函数 在区间 上可积, 则有 Bessel 不等式
其中
为函数 的 Fourier 系数. 推论 1 ( Riemann— Lebesgue 定理 ) 和
上可积, 则有
若函数 在区间
推论 2 若函数 在区间
上可积, 则有
预备定理 2 若
且在区间
是以
为周期的周期函数,
§3 收敛定理的证明
Dini 定理 设以 为周期的函数 在区间 上按段光滑,则在每一点 ,
的 Fourier 级数收敛于 在点 的左、右
极限的算术平均值, 即
其中
和
为
的 Fourier 系数.
证明思路: 设
对每个
～
, 我们要证明
..即证明源自.方法是把该极限表达式化为积分, 利用 R—L定理证明相应积分的极限为零.
若三角级数 Fourier 级数, 则数项级数
比如正弦级数 法), 由级数
为
收敛.
是收敛的三角级数(利用 Dirichlet 判别 发散, 正弦级数 不是 Fourier 级数.
的
上可积, 则函数 有积分表示式
Fourier 级数部分和
当
来确定.
时, 被积函数中的不定式由极限
Dirichlet积分:
证 由三角公式
.
三维空间中
则
(1)
将此结论推广到
若 则
维空间, 即为
,
对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数
自然应有 这就是有名的Bessel 不等式, 其证明和三维 空间中 (1) 式的证明思路完全一样, 都是利 用坐标系的正交性.