12
现在证明 (收敛定理).重新叙述如下:
定理 若以2π为周期的函数 f 在 [π, π] 上按段
光滑, 则在每一点 x [π, π], f 的傅里叶级数收敛
于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即
f
(x
0) 2
f
(x
0)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx),
其中 an , bn 为 f 的傅里叶系数.
π
π
π F1( x) sin nxdx 0 F2( x) cos nxdx, (7)
7
其中
F1( x)
f
( x)cos
x 2
,0
x
π
,
0
,π x 0,
F2
(
x)
f
(
x)
sin
x 2
,
0
xπ
,
0 ,π x 0.
显见F1与 F2和 f 一样在 [π, π]上可积.由推论1,(7) 式右端两项积分的极限在 n 时都等于零. 所以
13
证 只要证明在每一点 x 处下述极限成立:
lim
n
f
(x
0) 2
f
(x
0)
Sn( x)
0,
即
lim
f
(x
0)
f
(x
0)
1
π
f
(
x
t
)
sin
n
1 2
t
dt
0.
n
2
π π
2sin t
2
或证明同时有
14
lim
f
(
x
0)
1
π
f
(x
t)
sin
n
1 2
t
dt
左边的极限为零.
同样可以证明
lim
n
0 π
f
(
x ) sin
n
1 2
xdx
0.
8
定理2 若 f 是以2 π为周期的函数, 且 在 [π, π]
上可积, 则它的傅里叶级数的部分和 Sn( x)可写成
Sn
(x
)=
1 π
π
f
(
x
t
)
sin
n
1 2
t
dt
,
π
2sin t
(8)
2
当 t = 0 时, 被积函数中的不定式由极限
收敛定理:
定理 若以 2π为周期的函数 f 在 [π, π] 上按段
光滑, 则在每一点 x [π, π], f 的傅里叶级数收敛
于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值,即
f
(x
0) 2
f
(x
0)
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx),
其中 an , bn 为 f 的傅里叶系数.
bn2 )
1 π
π f 2 ( x)dx.
π
(Parseval等式)
2
证 令
Sm( x)
a0 2
m
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
π π
[
f
(
x
)
Sm
(x
)]2dx
考察积分
π π
f
2 ( x)dx
2
π π
f
( x)Sm (x)dx
π π
Sm2
(x
)dx.
(2)
由于
π π
f
( x)Sm (x)dx
f
(
x)sin
n
1 2
xdx
0,
(6)
lim
n
π π
f
(
x
)sin
n
1 2
xdx
0,
证 由于
sin
n
1 2
x
cos
x 2
sin
nx
sin
x 2
cos
nx,
所以
π 0
f
(
x)
sin
n
1 2
xdx
π 0
f
(
x)cos
x 2
sin
nxdx
π 0
f
(
x
)
sin
x 2
cos
nxdx
2
由于上式左边为偶函数, 因此两边乘以 f ( x 0) 后
又得到
f ( x 0) 1
π
f
(x
0)
sin
n
1 2
t
dt .
2
π0
2sin t
2
16
从而(10)式可改写为
lim 1
π
[
f
(x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0)
f
(x
t
)]
sin
n
1 2
t
dt
0.
π n 0
2sin t
(12)
2
令
(t)
f
(x
t) f (x 2sin t
因为(1)的左边级数收敛, 所以当 n 时, 通项
an2 bn2 0, 亦即有an 0 与 bn 0, 这就是 (5) 式, 这个推论称为Riemann引理.
a02
2
(an2 bn2 )
n1
1 π
π π
f 2( x)dx.
(1)
6
推论2 若 f 为可积函数,则
lim
n
π 0
0)
2
t
f (x t) t
f ( x 0) 2 sin t
,
t (0, π].
2
17
取极限得到
lim(t) f ( x 0) 1 f ( x 0).
t 0
再令(0) f ( x 0), 则函数 在点 t 0 右连续.
因为 在 [0, π]上至多只有有限个第一类间断点,
所以 在 [0, π]上可积. 根据定理1和推论2,
而
1 π
π [ f ( x)]2dx为有限值,
π
所以正项级数
a02 2
(an2
n1
bn2 )
的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立. 5
推论1 若 f 为可积函数, 则
lim
n
π π
f ( x)cos nx dx 0,
π
(5)
lim
n
-π
f ( x)sin nx dx 0,
a0 2
π
f ( x)dx
π
m
π
π
(an
π f ( x)cos nxdx bn
f ( x)sin nxdx),
π
n1
根据Fourier系数公式可得
π π
f
( x)Sm (x)dx
π 2
a02
m
π (an2
n1
bn2 ).
(3) 3
根据Fourier系数公式可得
π π
f
( x)Sm (x)dx
nxdx
πa02 2
m
π (an2
n1
bn2 ).
(4)
4
将(3), (4)代入(2)，可得
0
π
[
π
f
(
x
)
Sm
(x)]2dx
π π
f
2( x)dx
πa02 2
m
π (an2
n1
bn2 ).
因而
a02 2
m
(an2
n1
bn2 )
1 π
π [ f ( x)]2dx,
π
它对任何正整数m成立.
0.
这就证得 (12)式成立, 从而(10)式成立.
用同样方法可证 (11) 也成立.
19
lim 1
π
[
f
(x
0)
f
(x
0)]
sin
n
1 2
t
dt
π n 0
2sin t
2
lim 1 n π
π
(t
0
)sin
n
1 2
tdt
0.
18
lim 1
π
[
f
(x
0)
f
(x
0)]
sin
n
1 2
t
dt
π n 0
2sin t
2
lim 1 n π
π 0
(t
)
sin
n
1 2
tdt
1
1.5.3 Fourier级数的性质
定理1 (贝塞尔(Bessel)不等式) 若函数 f 在
[π, π] 上可积, 则
a02
2
(an2 bn2 )
n1
1 π
π f 2( x)dx.
π
(1)
其中 an , bn为 f 的傅里叶系数. (1)式称为Bessel不等
式.
a02
2
(an2
n1
lim
sin
n
1 2
t
n
1
t0 2sin t
2
来确定.
2
9
证 在傅里叶级数部分和
Sn( x)
a0 2
n
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)
中, 用傅里叶系数公式代入, 可得