薄圆盘对过球心轴的转动惯量为 d J 1 r 2 d m 1 R5 cos 5 d
2
2
J 2
/2 1 r2 dm
/2
R5 cos 5d
8
R 5
8
m R5 2 mR 2
02
0
15
15 4 R 3
5
3
由平行轴定理， J J mR 2 2 mR 2 mR 2 7 mR 2
5
5
悬垂。现有质量 m＝8g 的子弹，以 v＝200m／s 的速率从 A 点射入棒中，假定 A 点与 O 点的距离为 3 l ， 4
如图 4-11 所示。求：（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。
解：(1) 子弹射入前后系统对 O 点的角动量守恒
mv 3 l J ， J 1 Ml 2 m ( 3 l)2 1 1 0.42 0.008 9 0.42 0.054 kg m2
计小球大小）
A
解：M (3m m)g l cos l mg cos ，J 3m( l )2 1 ml2 m( l )2 1 ml 2
4
2
4 12
43
l/4 O
l
图 4-5
13
大学物理练习册—刚体定轴转动
M
l mg cos 2
3g
cos
J
1 ml 2
2l
3
4-6 一均匀圆盘，质量为 m，半径为 R，可绕通过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，如图 4-6 所示。 圆盘与桌面间的动摩擦因数为 ，若用外力推动使其角速度达到 0 时，撤去外力，求（1）转动过程 中，圆盘受到的摩擦力矩；（2）撤去外力后，圆盘还能转动多少时间？
dt d 0
0
l
图 4-4
另解：机械能守恒， mg l (1 cos ) 1 J 2 ， 3g (1 cos )
2
2
l
4-5 如图 4-5 所示，有一质量为 m，长为 l 的均匀细杆，可绕水平轴 O 无摩擦地转动，杆的一端固定一质量
为 3 m 的小球 A，OA＝l/4。开始时杆在水平位置，试求细杆由静止释放后绕 O 轴转动的角加速度。（不
2
2
2
r
Jr k
2mgx sin 30 kx 2 2 2 1 9.8 0.5 2.0 12
v
1.53m/s
m J
2 0.5 0.32
r2
m
300 图 4-10
(2)
A 1 J 2 2
1 2
J
2 0
1 J 2 2
1 0.5 1.532
2
0.32
6.5 J
4-11 长 l＝0. 40 m 的均匀木棒，质量 M＝1. 0kg，可绕水平轴 O 在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直
4
3
43
16
3 mvl 3 0.008 200 0.4
4 4
8.89 rad/s
O
J
0.054
3
(2)
设棒最大偏转角为
，由机械能守恒， 1 J 2 2
Mg l (1 cos ) mg 3 l(1 cos ) ，
2
4
l 4
l
1 J 2
(1 cos ) 2
0.054 8.892
1.0758
解：设圆盘以角速度 旋转，则人相对于地面的角速度为 v R2
系统对圆盘中心轴的角动量守恒
J
J
0
，
1 2
mR12
mR22
(
v ) 0 ， R2
R2v
1 2
R12
R22
2R2v R12 2R22
功和能
4-10 如图 4-10 所示。滑轮的转动惯量 J＝0. 5kg · m2，半径 r＝30 cm，弹簧的劲度系数 k＝2.0 N／m，重
12
6
力矩和转动定律
A l
R
R
A’
图 4-3
4-4 如图 4-4 所示，一长为 l，质量为 m 匀质细杆竖直放置，因受到扰动而倒下（设下端不滑动）。试求当 细杆转到与竖直线成 角时的角加速度和角速度。
解：
M
mg
l sin 2
3g sin
J
1 ml 2
2l
3
l
d d ，
d
d ，
3g (1 cos )
物的质量 m=2.0 kg，开始时弹簧没有伸长。当此系统从静止开始启动，物体沿斜面滑下 1.0m 时，求：
（1）物体的速率多大？（2）物体滑下 1.0m 过程中，作用在滑轮上的力矩所作的功。（不计斜面和转
轴的摩擦）
解：(1) 系统机械能守恒
1 kx 2 1 J 2 1 mv 2 mgx sin 30 ， v
O'
lm
O
F
图 4-7
4-8 上题中细杆被一颗质量 m’=20g 的子弹以 30 的角射中中点，如图 4-8 所示。已知杆与桌面的动摩
擦因数 =0.20，子弹射入速度 v=400m/s，并以 v/2 的速度射出。求：(1) 细杆开始转动的角速度；（2）
细杆转动时受到的摩擦力矩和角加速度各为多少？（3）细杆转过多大角度后停下来。
x2
dx
L2 12
(m1
7m2 )
O
4-2 求半径为 R，质量为 m 的均匀球体相对于直径轴的转动惯量。如以与球体 相切的线为轴，其转动惯量又为多少？
L/2
L/2
m1
m2
图 4-1
解：将球看成由许多薄圆盘组成，圆盘半径 r R cos ，厚度 d h R d cos 对应的质量 d m r 2 d h R3 cos3 d
3R 0
J
1 mR 2
3R
4g
2
图 4-6
角动量和角动量守恒定律
4-7 水平桌面上放有一根长 l=1.0m，质量 m=3.0kg 的匀质细杆，可绕通过端点 O 的垂直轴 OO’转动，开始 时杆静止。现有 100N 的力，以与杆成 =30o 的角打击杆的一端，打击时间 t=0.02s，如图 4-7 所示。
l
l
M
l g m r d r 1 mgl ， M
1 2
mgl
3g
3 0.2 9.8
2.94 rad/s2
0l
2
J
1 ml 2
2l
21
3
14
大学物理练习册—刚体定轴转动
(3) d d ，
d
0
d ，
2
32
1.53 rad
dt
d 0
2 2 2.94
4-9 在半径为 R1、质量为 m 的静止水平圆盘上，站一质量为 m 的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖 直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心、半径为 R2（R2＜R1）的圆周，以相对于圆盘的速度为 v 匀速 走动时，则圆盘将以多大的角速度旋转？
Mg l mg 3 l 1 9.8 0.4 0.008 9.8 3 0.4
24
2
A 图 4-11
cos 0.0758 94.4 最大偏转角超过 90
15
解：(1) 在距中心 r 处取一宽度为 d r 的圆环，该圆环所受的摩擦力大小为 d f g 2r d r
该摩擦力对中心轴的力矩为 d M r d f g 2r 2 d r
所以 M R g 2r 2 d r 2 g m R3 2 mgR
0
3 R 2
3
(2)
M
2 mgR
3
4
g ， t 0
O' 解：(1) 子弹射入前后系统对 O 点角动量守恒
1 lmv sin 30 1 lm v sin 30 J
2
22
1 4
lmv sin
30
1 8
lmv
3mv
3 0.02
400
3 rad/s
J
1 ml 2 8ml
8 11
3
lm
O m' v
图 4-8
(2) d m m d r ， d f g d m ， d M r d f rg d m g m r d r
求（1）杆的角动量的变化；（2）杆转动时的角速度。
0.02
0..02
解：(1) 冲量矩为 0 M oo d t 0 lF sin 30 d t 1100 0.5 0.02 1kg m2 /s
t
由刚体定轴转动定律 L J J 0 J 0 M oo d t 1kg m2 /s
(2) L 1 3 rad/s J 1 ml 2 3
大学物理练习册—刚体定轴转动
转动惯量 4-1 有一直棒长为 L，其中一半的质量为 m1（均匀分布），另一半的质量为 m2（均匀分布），如图 4-1 所示，
求此棒对过端点 O，并垂直于纸面的轴的转动惯量。
解： J x2 d m m
L / 2 2m1 x 2 d x 0l
R 的匀质圆薄板和一根长为 l=8R 的细杆相连，如图 4-3 所示，求以下两种情况
时，此系统对于过细杆中心并与杆垂直的轴 AA’的转动惯量。（1）忽略细杆质量；（2）细杆质量为 M。
解：(1) 由平行轴定理
J
2
1 2
mR 2
m( l 2
R)
2
51mR 2
(2) J J 1 Ml 2 51mR 2 64 mR 2 61.67mR 2