r
Fz
q
F
4- 2
力矩 转动定律
转动惯量
（2） 外力矩与合外力矩 M1
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动
F2
F 2
j2
r2
P2
O
r1
F 1
P1
F1
j1
d2 d1
力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin j1
M2
合外力矩 大小
M = M1 + ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
dy
y O Q
代入数据，得：
M 2.1410 N m
12
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
二
转动定律
（1）单个质点 m 与转轴刚性连接
z
M
O
Ft
Ft mat mr
M rF sin θ
r
F
q m Fn
M rFt mr
2
M mr
2
4- 2
刚体的运动形式：平动、转动．
4-1 刚体的定轴转动
平 动
定轴转动
平面运动
定点运动 一般运动
刚体任意 刚体质心 刚体上 刚体每点 限制在一平 两点的连线 保持方向不 绕同一轴线 面内，转轴 各质点都 变。各点的 作圆周运动，可平动，但 以某一定 且转轴空间 始终垂直于 点为球心 位置及方向 该平面且通 的各个球 相同，可当 面上运动 不变。 过质心 作质点处理.
F Fi 0, M i 0 i i
F
4- 2
力矩 转动定律
转动惯量
讨论
（1）若力 F 不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
其中 Fz 对转轴的
F Fz F
z
k
O
F
M z k r F M z rF sin q
4- 2
力矩 转动定律
转动惯量
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m , 水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝 基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
y
y
x
h
O Q O x
L
4- 2
力矩 转动定律
转动惯量
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积 元 dA Ldy ，作用在此面积元上的力
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量.
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
r

圆环质量
dm 2 π r dr

dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度

：质量体密度
dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
说明 刚体的转动惯量与以下三个因素有关： （1）与刚体的体密度 有关． （2）与刚体的几何形状及体密度 的分 布有关． （3）与转轴的位置有关．
O
ji
ri
Fi sin j i + f i cosq i
=
a i
=
ri

等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
r
ri ri
得
M
=
∑
4- 2
力矩 转动定律
转动惯量
（2）刚体
瞬时 角加速度
瞬时 角速度
M
=
称为
∑
ri

Fi

qi
n
fi
即
刚体所获得的角加速度
合外力矩 的大小成正比， 与刚体的转动惯量 成反比。
d r O´
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dr dJ r 2dm r 2dr
r
1 3 J 2 r dr l 0 12 1 ml 2 12
l/2 2
如转轴过端点垂直于棒
1 2 J r dr ml 0 3
l 2
物理学
1 2 2
1 2 2
v v0 at
0 t
4-1 刚体的定轴转动
三 角量与线量的关系 dq ω dt 2 dω d q 2 dt dt v rωet

an

a r P
et v a
t
at r an rω
2
2 a ret rω en
O
ji
ri
与刚体性质及质量分布有 关的物理量，用 J 表示
转动惯量
刚体的转动定律
的大小与刚体受到的
物理学
第五版
4-2
力矩
转动定律
转动惯量
三
转动惯量
J m j rj2 , J r 2dm
j
物理意义：转动惯性的量度.
转动惯性的计算方法
质量离散分布刚体的转动惯量
2 j j 2 11 j
(3) 电动机转动的角加速度为
d m t / t / 2 2 e 540 πe rad s dt
4-1 刚体的定轴转动
例2 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直 其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的 角速度 ω0 0 ，经300 s 后，其转速达到 18 000 r· min-1 ．转子的角加速度与时间成正 比．问在这段时间内，转子转过多少转？
dF pdA pLdy
y
y
x
h y O Q
dA
dy
O
x
L
4- 2
力矩 转动定律
转动惯量
令大气压为 p0 ，则 p p0 g (h y)
dF PdA [ p0 g (h y)]Ldy
F [ p0 g (h y)]Ldy 0 y 1 2 p0 Lh gLh 2
4- 2
力矩 转动定律
转动惯量
一
力矩
z
O
M
右手法则判断方向 用来描述力对刚体的转动作用．
F 对转轴 z 的力矩
d r sin q 为力臂
F
M Fr sin q Fd M r F
合力为零时, 其合力矩不一定为零
r
d
*
P
q
F F Fi 0, M i 0 i i
4-1 刚体的定轴转动
物理学
第五版
4- 0
教学基本要求
一 理解描写刚体定轴转动角速度和 角加速度的物理意义，并掌握角量与线量 的关系．
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握 刚体绕定轴转动的转动定理．
三 理解角动量概念，掌握角动量定 律，并能处理一般质点在平面内运动以及 刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.
复杂 的运动 与平动 的混合。
一
4-1 刚体的定轴转动 刚体转动的角速度和角加速度
刚体定轴转动 的运动方程 沿逆时针方向转动 q > 0 沿顺时针方向转动 q < 0 刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t)
参考 方向
1. 角坐标
转动平面（包含p并与转轴垂直）
2. 角位移
转轴
q q (t t) q (t)
= F1 d 1 = F 1 r1 方向 M M 2 = r 2 × F2 大小 M 2 = r 2F 2 sin F j2 = F2 d 2 = F 2 r2
M = F1 d 1
F 2 r2 F2 d 2 = F 1 r1 叉乘右螺旋
r
4- 2
力矩 转动定律
转动惯量
合力矩等于各分力矩的矢量和
d 解 令 ct，即 ct ，积分 dt 1 2 t 得 ct d c t d t 0 0 2
4-1 刚体的定轴转动
1 2 ct 2
当 t =300 s 时
18 000 r min 600π rad s
1
1
2 2 600 π π 3 c 2 rad s 2 t 300 75 1 2 π 2 ct t 2 150
M M1 M 2 M 3
j
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．
M ij
Fji iF
ij
rj
O
M ji
d
ri
M内 M ij 0
i, j
Mij M ji
z
F
O
M 0
(4) 当作用力通过转轴时, 其力矩 为零. 如右图.
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
4- 0
教学基本要求
四 理解刚体定轴转动的转动动能概 念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确 地应用机械能守恒定律． 能运用以上规律分析和解决包括质点 和刚体的简单系统的力学问题．
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
第一节
第四章 刚体的转动
4-1 刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．) ⑴ 刚体是理想模型 说明： ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
代入数据，得
h y
10
h
dA
dy
F 5.9110 N