（垂直z轴）
Miz | ri Fi | ri Fi sini ri Fi
Mz Miz ri Fi sini
z
Mz
vi
Oi
ri mi
ri
riz
O roi
Fi
Fiz
i
Fi
Lz Liz ?
Mz

dLz dt
?
Li roi mivi
第三章 刚体的转动
3.1 刚体的运动
刚体: 受力时不改变形状和体积的物体。
刚体的平动、定轴转动和复合运动
A’
A”
一、刚体的平动
A
在运动过程中刚体上的任意一条 直线在各个时刻的位置都相互平行
B B’ B” 刚体的平动
任意质元运动都代表整体运动
用质心运动代表刚体的平动
二、 刚体的定轴转动
（质心运动定理）
l
Z 1 dm dx
dx X
l
o
l
2
2
Z 2 dm dx
dx
X
o
l
J z2 J z1 所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义
例: 匀质圆环半径为 R,总质量为 m,求绕垂直
Z
于环面通过中心轴的转动惯量 如下图:
解: J z R2dm
R dm
例: 匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:
dt
2l
θC θθ
mg
对上式两边分别乘以 dθ ，再进行积分得：


d
3g cos d
0
0
2l
3g sin
l
M 3g cos
J
2l
质心运动定理：
3g sin
l
F
F1 mg sin man
i Fi
Lz (miri2) Jz i
Mz

dLz dt
Jz
d
dt
Jz miri2
i
O
对固定轴
roi
M J
刚体定轴转动定律
M轴外

J
与牛顿第二定律对比： F外 ma
刚体到转轴的转动惯量： J miri2
i
对比刚体的角动量和质点的动量：
z
roi vi Li miroivi
Liz
Liz Li sin miroivi sin Li
质元 mi 到转轴的垂直距离
Mz
vi
Fi
Fiz
ri roi sin
Liz mirivi vi ri
(miri2 )
转动惯量
Oi
ri mi
ri
riz
1. 已知：滑轮M（看成匀质圆盘）半径 R 物体： m 求： a =?
解： 物体m加速运动： mg T ma
滑轮加速转动，由转动定律得： TR J
J 1 MR2 2
线量与角量关系： a R
解得：a＝ g 1＋ J mR 2
M
ω
R
T
T m
a
mg
2. 已知：滑轮M（看成匀质圆盘）半径R
圆盘半径为 R, 总质量为 m .
解: J z r 2dm
设质量面密度 m R 2
Z
m
dm
dS
R
r
dr
1. 有关转动惯量计算的几个定理：
Z
1） 转动惯量叠加
B
Jz JA JB JC
A
C
式中: 是A球对z轴的转动惯量
是B棒对z轴的转动惯量
是C球对z轴的转动惯量
h
2） 平行轴定理 J z Jc mh2
a
切向分量 法向分量
dv d a dt r dt r
an

v2 r
r 2
z
v dS
r d P
匀变速直线运动
匀变速定轴转动 O
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S

v0t

1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t

线分布 dm dx 是质量的线密度 面分布 dm ds 是质量的面密度
体分布 dm dv 是质量的体密度
例: 一均匀细棒长 l 质量为 m
1) 轴 z1 过棒的中心且垂直于棒 2) 轴 z2 过棒一端且垂直于棒
求: 上述两种情况下的转动惯量
解: 棒质量的线密度 m

0t

1t2
2
2 02 2
3.2 刚体定轴转动定律
1. 刚体定轴转动定律
质点系的角动量定理 M
Z轴分量
Mz

dLz dt
外

dL dt
?
质元 mi : Fi 对O点的力矩
M i roi Fi
roi Fi roi Fiz
（垂直z轴 ）
roi Fi ri Fi riz Fi
J 1 MR2 2
m2g
转动定律 T1R T2R J
线量与角量关系 a R
m1g
a
m1 m2
g
m1

m2

1 2
M
m1 a
例3.2 已知：匀质杆m 长 l 下落到θ时
求：
F
解：
lm
转动定律
O
M
J
1 mgl cos
2 1 ml2
3g cos
2l
3
d 3g cos
L J
p mv
J 与 m 对应
转动惯量的物理意义:
1. 刚体转动惯性大小的量度;
2. 转动惯量与刚体的质量有关;
3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关; 4. J与转轴的 J miri2 称为刚体对转轴的转动惯量
i
对质量连续分布刚体 J r 2dm
物体： m1 m2 求： a =?
M
R
解： m1g T m1a T m2g m2a
a m1 m2 g m1 m2
T2 TT 2
T1
m1g m2g (m1 m2 )a
对否？
T1 T2 否则滑轮静止或匀速转动，而物体加速运动 m2
TT 1
m1g T1 m1a T2 m2 g m2a
刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）作圆周运动
1. 用角量描述转动 1) 角位移 θ :
在 t 时间内刚体转动角度
2)角速度 :
3)角加速度 α :
z θ
刚体定轴转动
角速度 的方向按右手螺旋法则确定
2. 线量与角量关系
dS r d v ds r d r
dt dt
式中:
关于通过质心轴的转动惯量
m 是刚体质量, h 是 c 到 Z轴的距离
CZ
J z 是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量
3） 垂直轴定理
对于薄板刚体, J z J x J y
薄板刚体对 z 轴的转动惯量
等于对 x 轴的转动惯量 与
x
对y 轴的转动惯量
之和。
z
xi
0 yi
mi
y
2. 刚体定轴转动定律的应用