第三章 刚体的定轴转动
质点力学是刚体力学的基础。在外力作 用下，刚体的基本运动形式可以分为平动和 转动。平动时刚体上各点的运动情况完全相 同，可用其上任一点代表。因此，刚体平动 的规律与质点运动规律完全相同。本章主要 研究刚体绕定轴转动的基本规律。 本章主要采取与质点运动类比的研究方 法。类比也是一种常用的科学研究方法。学 习本章必须要注意把有关刚体运动的概念、 规律和研究方法与质点力学进行类比。在类 比中体会它们的联系与区别，从而加深对物 理规律内在一致性的理解。
第三章 刚体的定轴转动
Chapter 3. Fixed-axis rotation of Rigid Body
第三章 刚体的定轴转动
内容联系与线索
在实际问题研究中，许多物体的大小和形状不 能忽略。物体在外力作用下一般都要发生形变，这 对研究物体的运动规律带来了困难。如果物体的形 变很小，而且只着重研究物体在外力作用下的整体 运动规律时，可把物体看作是在外力作用下不发生 形变的理想物体——刚体。它是继质点之后的又一 个理想模型。这种在一定条件下，把复杂具体的物 体抽象为简单的理想模型的方法，是科学研究常用 的方法。它可以使我们抓住事物的本质，突出主要 矛盾，从而找出它所遵循的主要规律。我们必须熟 悉和掌握这种方法。
JC为通过质心的转轴的 转动惯量,另一轴与该轴相 互平行，相距为 d，m为刚 体的质量。 3.转动惯量具有可加性。 思考：下列物体的转动惯量
1 J c mR2 4
2
1 l 4 1 2 J ? J c ml 12
J ?
C
实心圆盘
有空洞圆盘
第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律
例3-1 质量为mA的物体A初始时静止在光滑的
J r dm
2 m
刚体转动惯量的大小与下列因素有关：
（1）形状大小分别相同的刚体，质量大的 转动惯量大； （2）总质量相同的刚体，质量分布离轴越 远，转动惯量越大； （3）对同一刚体而言，转轴位置不同，转动 惯量的大小就不同。
第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律
1.转动惯量的计算 1.1 均匀细棒

C

平 架 陀 螺 仪
C

第三章 刚体的定轴转动——3.3 角动量守恒定律
4.2 角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对 非刚体也成立.一般有三种情况： A：J不变，也不变，保持匀速转动。（常 平架上的回转仪）。 B：J发生变化，要发生改变，但J不变。


F
F
C：开始不旋转的物体，当其一 部分旋转时，必引起另一部分 朝另一反方向旋转。 4.3 一些实际现象的讨论 •芭蕾舞演员的旋转动作
解：隔离物体，受力分析 A 分别根据 牛二定律 和转动定 律列方程
T1 C
T1
R
N
T2
B
PB A : T1 mAa (1) B : mB g T2 mBa ( 2 )
T2
滑轮视为均匀圆盘， J
v ( 2ay ) 2 ( 3 ) C : RT2 RT1 M J ( 4 ) a R ( 5 ) 1
第三章 刚体的定轴转动——3.1 刚体运动的描述
二、刚体运动学
1.刚体的平动 刚体上所有点的运动轨迹都相同。 2.刚体定轴转动 刚体相对于某一惯性系（如地 面）固定不动的直线的转动。 3.刚体的一般运动 平动和转动的合成运动。
第三章 刚体的定轴转动——3.1 刚体运动的描述
2.角速度 Angular Velocity d dt 3.角加速度 Angular
3g (1 cos) 2l
第三章 刚体的定轴转动——3.3 角动量守恒定律
§3-3 角动量守恒定律 Law of Conservation of Angular Momentum
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律 1.质点的角动量 L r mv 定义：质点m 相对于 z 参考点O 的角动量为 注意： L y 1） L是矢量 O 方向：右手定则确定 B 大小： L mrv sin 2 SOAB r mv x A 2 1 单位 : kgm s
第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律
由初始条件: t 0时, 0 0, 0 0得 : 3g 0 d 2l 0 si nd
3g d sin d 2l
d d d 3 g sin dt d dt 2l

o
mg
J J 00
4.注意：4.1 对一般刚体运动,该定理对通过质心的转 轴的转动也是成立的.即合外力对通过质心的轴的力矩 恒为零时,则对该轴的角动量守恒.
第三章 刚体的定轴转动——3.3 角动量守恒定律
J C1 J C2
( MC 0) 常
C
C

F F
F
mg
C
ri

fi
Fi
n : Fi cosi f i cosi mi ain (2) : Fi sini f i sini mi ai (3)
法向分力产生的力矩为零。 (3) ri 切向分力的力矩为：
O
i i ri
ri Fi sini ri f i sini mi ai ri mi ri
2 mC R
2
1
联立求解方程（1）～（5）即可。
第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律
例3-2 一长为l 质量为m 的匀质细杆竖直放置
，其下端与一固定铰链o 相连，并可绕其转 动。由于此杆处于非稳定平衡状态,当其受 到扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开 始绕铰链o 转动。试计算细杆转到与铅直线 成 角时，杆的角加速度和角速度。 解：受力分析 取任一状态，由转动定律 1 M 外 mgl sin J mg 2 o 1 3g 2 J ml sin 3 2l
i
i i
d M J J dt

i
刚体所受合外力矩等于刚体 转动惯量和角加速度的乘积。
第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律
三、转动惯量 Moment of Inertia 描述刚体转动惯性大小的物理量。
J mi ri2
i
适用于质量离散分布刚体 适用于质量连续分布刚体
2
Acceleration



0
0
第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律
§3-2 转动定律
一、力矩 torque z o F d

P M 的方向由右手法则确定 1.定轴转动,力矩的方向可用正、负号表示。 几个力同时作用同 M Mi 一刚体，合力矩为 i 结论：刚体内 2.内力对转轴的力矩为零 力不产生力矩
M Fd Fr sin M r F
r
第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律
二、转动定律 Law of Rotation of a Rigid Body 考察刚体上任意质元： mi 在 f i 和 Fi 的作用下作圆 周运动，由牛顿定律： Fi f i mi ai (1)
2
第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律
对组成刚体的质点系来说： (ri Fi si n i ri f i si n i )
i
mi ai ri mi ri2
因为内力产生的力矩为零，于是总力矩： 2 2 M ri mi 令 J ri mi
§3-1 刚体运动的描述
一、刚体 Rigid Body 在任何外力作用下，其形状 和大小均不发生改变的物体。 mj 说明： 1）理想模型； mi 2）在外力的作用下，任意 两点均不发生相对位移,即 ri j c 3）内力无穷大的特殊质点系。 刚体力学是质点力学的应用和发展， 所有研究质点、质点系的方法均可应用。
+
m
M
X
已知：M , m , R , 0 求： 人 ,台 解：以M、m为研究对象
M外力矩 0
故角动量守恒 以地面为参照，建立轴 的正方向如图
第三章 刚体的定轴转动——3.3 角动量守恒定律
若人和转台的角速度分别为 人 , 台 人和台原来都静止， 人 m 故角动量 +
1.2 均匀细圆环 转轴通过圆心并与环面垂直
dm O
m
R m dl 解：质元 dm 2R 2 mR 2R 2 2 J R dm dl mR 2R 0
一般物体的转动惯量要由实验确定。
第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律
zC
d C
z
2.平行轴定理： J J c md
水平面上，它和一轻绳索相连接，此绳索 跨过半径为R、质量为mC的园柱形滑轮C ，并系在另一质量为mB的物体B 上，滑轮 与轴承间的摩擦力矩为 M 。 1）这两物体的加速度为多少? 水平和铅直两段绳索的张力为多少？ A 2）B物体下落距离 y C 时速率为多少？ B y
第三章 刚体的定轴转动——3.2 转动定律
第三章 刚体的定轴转动
教学要求
1. 理解角位移、角速度、角加速度等概 念；掌握线量与角量的关系。 2. 理解力矩和转动惯量的概念；掌握刚 体转动定律并能进行简单计算。 3. 掌握刚体转动动能的概念，能正确应 用转动动能定理。 4. 了解角动量的概念，掌握角动量定理 和角动量守恒定律。
第三章 刚体的定轴转动——3.1 刚体运动的描述
第三章 刚体的定轴转动——3.3 角动量守恒定律
2.刚体定轴转动的角动量定理
dL d M ( J ) dt dt t t Mdt J2 J1
2 1
3.刚体定轴转动的角动量守恒定律 由角动量定理
M外 0时，L J 恒矢量
dL d M ( J ) dt dt