高二暑假班数学测试题
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．若a <b <c ，则下列结论中正确的是( )
A ．a |c |<b |c |
B ．ab <ac
C ．a －c <b －c D.1a >1b >1c
【解析】选C.选项A 中c ＝0时不成立；选项B 中a ≤0时不成立；选项D 中取a ＝－2，b ＝－1，c ＝1验证，不成立，故选C.
2．
等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于
( )
A ．
－24 B ．0 C ．12 D ．24
【解析】选A.由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
3．当x >1时，不等式x ＋
1
x －1
≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 【解析】选D.因为当x >1时，x ＋1x －1＝1＋(x －1)＋1
x －1≥3，
所以x ＋
1
x －1
≥a 恒成立，只需a ≤3.
4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7
＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15
【解析】选D.由已知(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，从而a 1＋a 10＝±3. 所以S 10＝
a 1＋a 10
2
×10＝±15. 5．函数y ＝x 2＋2
x －1(x ＞1)的最小值是( )
A ．23＋2
B ．23－2
C ．2 3
D ．2
【解析】选 A.因为x ＞1，所以x －1＞0.所以y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2
x －1＝
x 2－2x ＋1＋2（x －1）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝x －1＋3
x －1
＋2≥23＋2.
6．不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≥2x －y ＋3≤0表示的平面区域是下列图中的( D )
7．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋
，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为___3_____．
解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y
4≥2
xy
12
，∴xy ≤3. 当且仅当x 3＝y
4时取等号．
8．(2015·高考广东卷)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝
________．
【解析】因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，所以5a 5＝25，即a 5＝5.所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.
【答案】10
9.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0，所表示的区域上一动点，则|OM |
的最小值是________．
【解析】
如图所示，M 为图中阴影部分区域上的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以|OM |的最小值＝
2
2
＝ 2. 【答案】 2
10.(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y
x
的最大值为________．
【解析】
画出可行域如图阴影所示，因为 y
x
表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，
所以点(x ，y )在点A 处时y
x
最大．
由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 所以A (1，3)．
所以y
x 的最大值为3.
【答案】3
11．(本小题满分12分)公差不为零的等差数列{a n }中，a 3＝7，且a 2，a 4，a 9成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
【解】(1)由数列{a n }为公差不为零的等差数列，设其公差为d ，且d ≠0. 因为a 2，a 4，a 9成等比数列，
所以a 24＝a 2·a 9，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，
整理得d 2＝3a 1d .
因为d ≠0，所以d ＝3a 1.① 因为a 3＝7，所以a 1＋2d ＝7.② 由①②解得a 1＝1，d ＝3， 所以a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2. 故数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －2. (2)由(1)知b n ＝23n －
2， 因为b n ＋1b n ＝23（n ＋1）－
2
2
3n －2＝8，
所以{b n }是等比数列，且公比为8，首项b 1＝2，
所以S n ＝2（1－8n ）1－8
＝2（8n －1）
7.
12.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；
(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 【解】(1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， 所以(2x ＋4)(x －4)<0， 所以－2<x <4，
所以不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)因为f (x )＝x 2－2x －8.
当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， 所以x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)． 所以对一切x >2，
均有不等式x 2－4x ＋7
x －1≥m 成立．
而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1
－2
≥ 2
（x －1）×4
x －1
－2＝2.
(当且仅当x －1＝
4
x －1
即x ＝3时等号成立) 所以实数m 的取值范围是(－∞，2]．
13．(本小题满分12分)画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －1≥02x ＋y －5≤0
y ≤x ＋2
所表示的平面区域并求其面积．
解：如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，得A (1,3)． 同理得B (－1,1)，C (3，－1)． ∴|AC |＝22＋42＝25，
而点B 到直线2x ＋y －5＝0距离为 d ＝
|－2＋1－5|5＝6
5
， ∴S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×25×6
5
＝6.
14．(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n
b n ，求数列{
c n }的前n 项和T n .
【解】(1)当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2.
设{b n }的公比为q ，由已知条件a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝1
4，
所以b n ＝b 1q n －
1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1.
(2)因为c n ＝a n b n ＝4n －22
4
n －1＝(2n －1)4n －
1，
所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －
1. 4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －
1＋(2n －1)4n .
两式相减得：
3T n＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n＝1
3[(6n－5)4
n＋5]．所以T n＝
1
9[(6n－
5)4n＋5]．。