锐角三角函数“网格秀”
山东王勇
在网格中计算锐角三角函数值的问题是各地中考题中一道靓丽的风景，现从近两年中 考题中撷取儿例解析如下，供同学们学习时参考.
一、网格中的正弦
例1网格中的每个小正方形的边长都是1, AABC 每个顶点都在网格的交点处，则 sinA= .
cl
7 % D
/ k \ B
/ A
图1
分析：根据各边长可知AABC 为等腰三角形，分别作出BC, AB 边的高AD 和CE, 根据面积相等求出CE 的长，在RtAAEC 中求出ZCAE 的正弦值即可.
解：如图1,过点A,作AD 丄BC,垂足为D ；过点C,作CE±AB,垂足为E.
由勾股定理得，AC=2 ^5 , AB=2V5 , BC=2 迈,AAB=AC.
VAD±BC, ACD=BD=V2 , A AD= 7（2>/5）2 ・（A /2）2 =3^2 .
由三角形的面积相等得，1BC.AD=1AB.C E>则BC . AD=AB • CE,
6A /5
在RfAEC 中，可得sinZCAE 谎厂盘W
3
故答案填：
点评：解题的关键是准确地把ZCAB 构造在一个直角三角形中，再利用正弦的定义来 求得相应的函数值.
二、网格屮的余弦
例2如图2,已知AABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ） V3 V5 2^3 2^5
A ・ --
B ・ --
C ・ ----
D ・ ----
分析：如图2,由勾股定理的逆定理可得AADB 是直角三角形，再利用余弦的定义直 接求岀cosA 的值即可. _____ ___________________
解：如图 2,在AADB 中，AD=V22 +22 =2^2 , AB=A /12+32 =710, BD=A /2 ,
・・•（忑尸+（2血卍（JIU ）2, •••△ADB 是直角三角形，
. AD 2^2 2A /5 • • cosA= ---- = —j== --------- ・ AB JlO 5
故答案选：D.
点评：在网格屮找出ZA 所在的直角三角形，利用一个锐角的余弦二邻边：斜边计算.
三、网格屮的正切
例3如图3,在网格中，小正方形的边长均为1,点A, B, C 都在格点上，贝0ZABC 的正切值
・•・CE= 2@ 3迥
2y/5 6^5 "T"
是( )
图3
分析：连接AC,则ABAC是直角三角形，直接利用正切的定义求值即可. 解：如图3,连接AC.
在ABAC 中，AC=V2 , AD=722 +22 =2^2 , BC=Vl2+32 =V10 ,
・・・(y/2尸+(2 V2 )2=( >/i0冗・・・ABAC是直角三角形，
故答案选：D.
点评:玉网格中找出ZABC所在的直角三角形，利用一个锐角的正切=对边：邻边计算.
牛刀小试
如图4,将ZAfB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tanZAOB^ ____________ .
图4
参考答案：—.。