2008~2009学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)3dzdx dy =-；(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；(C)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；(D) 曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)2. 设10 (1,2,)n u n n≤<=L ，则下列级数中必收敛的是[ ](A)1n n u ∞=∑； (B)1(1)nnn u∞=-∑； (C)1n ∞= (D)21(1)nnn u∞=-∑.3. 如果81lim1=+∞→nn n a a ，则幂级数∑∞=03n n n x a [ ](A) (B)(C) (D) .4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω++⎰⎰⎰= [ ] .(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 525a π.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分()Lx y ds +⎰= .4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .5. 设∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234x y z dS ∑++⎰⎰= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为0, 20()3, 022x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()f x 的Fourier 级数的和函数为()s x ，则(4)s = .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.2. 设z = f (e x sin y , x 2 + y 2), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).4. 计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域.5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]⎰-+BA x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且21)0(=f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+被平面4z =截下的有限部分的下侧.六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x 2y 2z )的中心, 且垂直于直线L : 00x y z =⎧⎨+=⎩, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1,4, 1)点的最短和最长距离.七、(6分) )判断级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.解答一、1. 【解】应选择C.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。

曲面))0,0(,0,0(),(f y x f z 在点=的法向量为)1,1,3()1),0,0(),0,0((--±=-±y x f f 故B是错误的。

))0,0(,0,0(0),(0),(f xx y y x f z y y x f z 在点即曲线⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=====切向量为)3,0,1(),1(00===x x dxdz dxdy，故C 是正确的，D 是错误的。

2. 【解】应选择D...)1(,,,1,112121222绝对收敛故收敛由比较法收敛而∑∑∑∞=∞=∞=-<n n n n n n nu u n n u .3. 【解】应选择B时即由比值法，2181,81lim lim 33313331<<==+∞→++∞→x x x x a a xa x a n n n n n n n n 收敛∑∞=03n n nx a.4. 【解】应选择B.54202222254sin sin )(a dr r d d d drd r r dv z y x aπϕϕθθϕϕππ==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ二、1. 【解】应填122146x y z --+==-； )6,4,2(),,(z y x F F F n z y x ==→，)12,8,2()2,2,1(-=→-n所求法线为：122146x y z --+==- 2. 【解】应填dx dy +；1)1,1(,2),(=-=x x f y x y x f ；1)1,1(,2),(=+-=y y f y x y x f ；dydx dz +=)1,1(。

3. 【解；曲线L 的方程为：1=+y x ，2)(==+⎰⎰ds ds y x LL。

4.【解】应填2π；ππθπ2)44(2123412022⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-===-Ωdr r r dz rdr d dv V r r5.【解613221361361)432(=⋅⋅⋅===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dS dS z y x D6. 【解】应填3(4)4s =. 432)04()04((4))(4=++-==f f s x f x 的间断点，是.三、1. 【解】 12(1,0,2)M M =--u u u u u u r平面0x y z ++=的法向量1(1,1,1)n =r…1211022111i j kM M n i j k ⨯=--=--r r r u u u u u u r r r r r所求平面方程为 20x y z --=. 2. 【解】12e sin 2x zyf xf x∂=+∂ 22111221221e sin cos 2e sin 2e cos 4e cos x x x x zy yf y yf x yf xyf yf x y∂=++++∂∂ 221112221e sin cos 2e (sin cos )4e cos x x x zy yf y y x y f xyf yf x y∂=++++∂∂3. 【证】 F (tx , ty , tz ) = t k F (x , y , z )两边对t 求导得 xF 1 + yF 2 + zF 3 = kt k1F (x , y , z )令t = 1, 有xF x + yF y + zF z = kF (x , y , z )设(x 0, y 0, z 0)为曲面上任一点, 则过此点的切平面方程为 F x (xx 0) + F y (yy 0) + F z (zz 0) = 0即 xF x (x 0, y 0, z 0) + yF y (x 0, y 0, z 0) + zF z (x 0, y 0, z 0) = kF (x 0, y 0, z 0) = 0, 则过曲面上任一点(x 0, y 0, z 0)的切平面都经过坐标原点. 4. 【解】21xxDxydxdy xdx ydy =⎰⎰⎰⎰212012xx xy dx =⎰12401()2x x x dx =-⎰ 12401()2x x x dx =-⎰ 124=5. 【解】24221()1(1)1n n f x x x x x'==-+++-++L L (21x <) 两边积分 2422001(1(1))1x x n ndx x x x dx x =-+++-++⎰⎰L L352111(1)arctan 3521n n x x x x x n +-=-+++++L L 11x -<≤四、【解】 (,)[e ()], (,)()xP x y f x y Q x y f x =+=-,(), e ()x Q Pf x f x x y∂∂'=-=+∂∂ 因曲线积分与路径无关，因此Q P x y∂∂=∂∂， 即 ()e ()xf x f x '-=+ ()()e x f x f x '+=,解得 1()e e 2x x f x -=-+所以(1,1)(0,0)11[e e ][e e ]22x xx x I ydx dy --=++-⎰ 1110010[e e ]2dx dy -=+-⎰⎰＝1101e 1[e e ]22e y --=-…五、【解】 补充∑1: z = 4 (x 2 + y 2 ≤ 4)上侧, 则 11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰设∑和1∑所围成的区域为Ω，则由高斯公式可得12222()x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ∑+∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰=2zdxdydz Ω⎰⎰⎰= 412823z zdz ππ⋅=⎰, 22122241664x y x dydz y dzdx z dxdy dxdy π∑+≤++==⎰⎰⎰⎰,128646433I πππ=-=-. 六、【解】 球面(x 2)2 + (y + 4)2 + (z + 4)2 = 36, 中心坐标(2,4, 4),平面的法向量为(0, 1, 1), 所求平面方程为(y + 4) + (z + 4) = 0, 即 y + z = 0. 交线2224(22)0x y z x y z y z ⎧++=--⎨-+=⎩, 在xOy 平面上投影为22(2)(4)136180x y z ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩. 设投影上一点(x , y , 0), 所求距离为 d 2 = (x1)2 + (y + 4)2 + 1令 2222(2)(4)(,,)(1)(4)1[1]3618x y F x y x y λλ-+=-+++++- (22)(2)2(1)018(4)2(4)09(2)(4)13618xy x F x y F y x y λλ-⎧=-+=⎪⎪+⎪=++=⎨⎪⎪-++=⎪⎩, 解出驻点(0, 0), (0,8), (8, 4), (4, 4)min max 18,50.d d == 七、【解】 211ln(1)lim 1n nn n →∞-+210011ln(1)11limlim 22x x nx x x x x →=→--++=== 级数211n n ∞=∑收敛, 由比较审敛法, 级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.2009~2010学年第二学期试题一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1. 函数222)2(),(x y x y x f -+=在闭区域1)1(22≤+-y x 上的最小值为 [ ] .(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.2. 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1(,)ydy f x y dx ⎰⎰= [ ].(A) 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰； (B)100(,)xdx f x y dy ⎰⎰；(C)11(,)ydy f x y dx ⎰⎰； (D)1(,)ydy f y x dx ⎰⎰.3. 设Ω为平面1x y z ++=与三个坐标面所围成的闭区域，则dv z y x )(++⎰⎰⎰Ω=[ ].(A) 1/6； (B) 1/8； (C) 1/12； (D) 1/24. 4.设(1)ln(1n n u =-，则级数 [ ].(A) 1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑都收敛； (B) 1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑都发散；(C) 1n n u ∞=∑收敛而21n n u ∞=∑发散； (D) 1n n u ∞=∑发散而21n n u ∞=∑收敛.二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1. 已知1=a ρ，2=b ρ，a ρ与b ρ的夹角为4π，则b a ρρ+= .2. 设Ω是由曲面z =与0=z 围成的立体，则Ω的形心坐标 . 3.设曲线Γ为连接)1,1,1(与(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分()x y z ds Γ++⎰= .4. 设∑为锥面22y x z +=被平面1=z 结下的有限部分，则曲面积分⎰⎰∑zdS = .5.幂级数∑∞=02n n n x a 的收敛区间为),(+∞-∞则a 应满足 .三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计35分）1. 求过点)5,2,3(-M 且与两个平面34=-z x 和152=--z y x 的交线垂直的 平面方程.2. 求函数yz x u 32+=在点)1,1,1(处沿椭球面632222=++z y x 在该点的外法线方向的方向导数.3.计算22()Dx y dxdy +⎰⎰, 其中D 是由曲线222x y x +=，224x y x +=，y x =和0y =所围成的平面区域.4.求幂级数ΛΛ+--+--+----nx x x x nn )1()1(3)1(2)1()1(132在其收敛域上的和函数.并求∑∞=--11)1(n n n 的值.5.设2)(x x x f +=,),[ππ-∈x 是周期为π2的函数，将)(x f 展成Fourier 级数. 并 求级数∑∞=121n n 的和. 四、(8分) 一质点在力j y x i y x y x F F ρρ)sin ()(),(22+--==的作用下，由点)0,0(O 沿上半圆22x x y -=移动到点)1,1(A ，求力F u r所作的功.五、(8分) 计算曲面积分xydxdy yzdzdx xzdydz ⎰⎰∑++，其中∑是由抛物面223y x z +=和球面224y x z --=所围成立体的表面外侧.六、(8分) 设函数(,)f x y 有二阶连续偏导数，满足20fx y∂=∂∂，且存在一元函数()h u ，使(,)f xy h =，求(,)f x y .七、(5分) 设12(,)((,),(,))F x y f x y f x y =是在00(,)x y 的某邻域内定义的向量函数，定义12((,),(,))f x y f x y =为12((,),(,))f x y f x y 的模. 如果0000(,)(,)(,)F x x y y F x y A x B y C x D y o +∆+∆--∆+∆∆+∆=，其中,,,A B C D 是与,x y ∆∆无关而仅与00,x y有关的常数，o的高阶无穷小. 则称(,)F x y 在00(,)x y 点可微，记为00(,)(,)(,)x y dF x y A x B y C x D y =∆+∆∆+∆.设(,)(arctan , yF x y x=，求(1,1)(,)dF x y .解答一、1.【解】应选择A;⎪⎩⎪⎨⎧=-+==--+=02)2(2),(0)22)(2(2),(2222y x y x y x f x x y x y x f y x ⎩⎨⎧==⇒01y x ，1)0,1(=f . 的边界为D 0222=-+x y x ，的边界上的值为零在D ),(y x f . 0;1min max ==f f2.【解】应选择A ；10(,)ydy f x y dx ⎰⎰= σd y x f D⎰⎰),(=11(,)xdx f x y dy ⎰⎰3. 【解】应选择B ；dv z y x )(++⎰⎰⎰Ω=zdv ⎰⎰⎰Ω3=⎰⎰⎰zD dxdy zdz 103=⎰-1022)1(3dz z z=814. 【解】应选择D(1)ln(1nn u =-∑∞=1n n u 是交错级数nn11111+<++n 1n u )11(ln )11ln(1u =+<++=+nn又0)n11(ln lim u lim n n n =+=∞→∞→∑∞=1n nu 收敛∑∞=12n nu 是正项级数n n n u n 11~)1ln(1222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ∑∞=11n n发散⇒∑∞=12n nu发散二、1．【解】应填5；因为5224cos 212112)()(222=⋅+⋅⋅+⋅=+⋅+=+⋅+=+πb b a a b a b a b a ρρρρρρρρρρ所以 5=+b a ρρ2．【解】应填)83,0,0(.形心在轴上z ，0==y xdr r d d d drd r r zdv ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==132022cos sin sin cos ππϕϕϕθθϕϕϕ =442sin 214202πϕππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡r π32=⎰⎰⎰Ωdv 83324===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩππdv zdvz 3. 【解】应填146；曲线Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=13121t z t y t x ，10≤≤t 。