东北大学高等数学(上)期末考试试卷2006.1.一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛； （C ）收敛数列必有界； （D ）收敛数列必单调.2．函数)(x f 在0(,)U x δ内有定义，对于下面三条性质：≠)(x f 在0x 点连续；≡)(x f 在0x 点可导；≈)(x f 在0x 点可微. 若用“P Q ⇒”表示由性质P 推出性质Q ，则应有（ ）.（A ）≡⇒≈⇒≠； （B ）≡⇒≠⇒≈ ； （C ）≈⇒≠⇒≡ ； （D ）≠⇒≡⇒≈ . 3. 曲线3x y x=-（ ）.（A ）既有水平渐近线，又有垂直渐近线； （B ）仅有水平渐近线； （C ）仅有垂直渐近线； （D ）无任何渐近线. 4．函数)(x f 在[,]a b 上有定义，则()()b af x f x dx =⎰存在的必要条件是（ ）（A ）)(x f 在[,]a b 上可导； （B ）)(x f 在[,]a b 上可导连续； （C ）)(x f 在[,]a b 上有界； （D ）)(x f 在[,]a b 上单调. 5．()y y x =是微分方程23xy y e''+=的解，且0()0y x '=. 则必有（ ）（A ）()y x 在0x 某邻域内单调增加； （B ）()y x 在0x 某邻域内单调减少； （C ）()y x 在0x 取极大值； （D ）()y x 在0x 取极小值. 6．若)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 有一个原函数是（ ）. （A ）1sin x +； （B ）1sin x -； （C ）1cos x -； （D ）1cos x +.二、填空题（本题36分，每小题4分）1．1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 2．1()11f x x=+的可去间断点是x = .3．1arctan y x=，则dy = . 4．1x xe dx ⎰的值是 .5．2tan limsin x x x x x→-= .6. 0x +→2x x α，则α= .7. 0(2)(3)dx x x +∞=++⎰.8. 设2323x t t y t t⎧=-⎨=-⎩，则22d y dx = . 9. 微分方程14dy y dxx-=-满足条件(1)1y =的特解是y = .三、（8分）计算不定积分22arctan 1x x dx x+⎰.四、（8分）求曲线326124y x x x =-++的升降区间，凹凸区间及拐点. 五、（8分）求微分方程323x y y y xe -'''++=的通解.六、（10分）在[]0,1上给定函数2y x =，问t 为何值时，如图所示阴影部分的面积1S 与2S 的和最小？并求此时两图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.七、（6分）设)(x f 在[],a b 上连续，且不恒为常数. 又)(x f 在(,)a b 内可微，且()()f a f b =. 试证：(,)a b ξ∃∈使()0f ξ'>.高等数学答案及评分标准 2006.1.10t一、单项选择题(本大题分6小题, 每小题4分, 共24分) 1．(C)2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D)6. (B)二、填空题（本大题分9小题, 每小题4分, 共36分）1.2e 2.0=x 3.dx xdy 211+-= 4.e 21-5.316.52α=7.23ln8.2234(1)d ydxt =-9.)ln 41(x x y -=9*.kj i b a35--=⨯三、(8分)计算不定积分dxxx x ⎰+221arctan .解：⎰⎰+-+=+dxxxx x dx xx x 22221arctan arctan )1(1arctan ------------2分⎰⎰-=xxd xdx arctan arctanarctan------------4分Cx dx xx x x +-+-=⎰22)(arctan 211arctan ------------6分Cx x x x +-+-=22)(arctan 21)1ln(21arctan -----------8分四、(8分)求曲线412623++-=x x x y 的升降区间, 凹凸区间及拐点.解：y '=3x 2-12x +12,令 y '=0，得x =2.2≠x , y '>0故在),(+∞-∞内为上升曲线. -----------2分y ''=6(x -2).令y ''=0,得.x =2. - -----------4分 因为当2<x 时,y ''<0;当2>x 时,y ''>0,-----------6分所以凸区间为]2,( -∞,凹区间为),2[∞+ ,拐点为)12,2( .-----------8分 五、(8分)求微分方程xxey y y -=+'+''323的通解.解：微分方程的特征方程为r 2+3r +2=0,特征根为r 1=-1,r 2=-2,------------2分齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e -2x .-----------4分 因为f (x )=3xe -x,λ=-1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为y *=x (Ax +B )e -x,-----------6分 代入原方程并整理得 2Ax +(2A +B )=3x ,比较系数得23=A ,B =-3,从而)323(*2x x ey x-=-.因此,原方程的通解为 )323(2221x x eeC eC y xxx-++=---. -----------8分五*、(8分)求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程. 解: 设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束的方程为(x +y -z -1)+l (x -y +z +1)=0,即 (1+l )x +(1-l )y +(-1+l )z +(-1+l )=0,------------2分其中l 为待定的常数.这平面与平面 x + y + z = 0垂直的条件是 (1+l )⋅1+(1-l )⋅1+(-1+l )⋅1=0, 即l =-1.-----------4分将l =-1代入平面束方程得投影平面的方程为2y -2z -2=0, 即y -z -1=0.------------6分 所以投影直线的方程为⎩⎨⎧=++=--001z y x z y . -----------8分六、(10分)在[0，1]上给定函数2xy =，问t 为何值时,如图所示阴影部分的面积1S 与2S 的和最小，何时最大？并求此时两图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积. 解：点的坐标为),(2t t 故 322132tdx x t t S t=-⋅=⎰2321223231)1(tt tt dx x S t-+=--=⎰31342321+-=+=t t S S S ----------3分)12(2)(-='t t t S 令0)(='t S 得21,0==t t ---------6分比较31)0(=s ，41)21(=s ，32)1(=s可知，)(,21,t S t =最小---------8分此时，所求体积为21)41(21)41(2121421042⋅π-π+π-⋅π=⎰⎰dx x dx x V =316π-----------10分七、设上连续在],[)(b a x f ,且不恒为常数.内可微在又),()(b a x f ,)()(b f a f =且. 试证:.0)(),(>ξ'∈ξ∃f b a 使证明：因为)()(b f a f =, ],[)(b a x f 在上不恒为常数。

必有),(b a c ∈, 使)()(a f c f ≠, 不妨假设)()(a f c f >, 于是在],[],[b a c a ⊂上使用lagrange中值定理，),(),(b a c a ⊂∈ξ∃使))(()()(a c f a f c f -ξ'=---------2分从而0)()()(>--=ξ'ac a f c f f ---------4分若)()(b f c f <则))(()()(0c b f c f b f -ξ'=-)()()(0>--=ξ'cb c f b f f ---------6分。