八、高等数学试题 2005/1/10一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知==⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→a a x a x xx ，则9lim2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x b ax x x x f ，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导。

3．方程017=-+x x 共有 个正根。

4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大。

5．⎰=20sin πxdx x 。

二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛。

2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）。

（A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f 。

3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。

4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ，⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（ ）（A ） M P N <<；（B ）P M N <<；（C ）N P M <<；（D ）N M P <<。

5．设)(x f y =在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)()(00=''='x f x f ，而0)(0≠'''x f ，则必有（ ）。

（A ）0x 是极值点，))((00x f x ，不是拐点； （B ）0x 是极值点，))((00x f x ，不一定是拐点； （C ）0x 不是极值点，))((00x f x ，是拐点； （D ）0x 不是极值点，))((00x f x ，不是拐点。

6．直线37423zy x L =-+=-+：与平面3224=--z y x ：π的位置关系是（ ） （A ）L 与π平行但L 不在π上； （B ）L 与π垂直相交； （C ）L 在π上； （D ）L 与π相交但不垂直。

6．微分方程xx e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ）(A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=； （B ）xx e c x b ae y 32)(*++=；（C ）x x ce e b ax y 32)(*++=； (D) xx cxe e b ax y 32)(*++=三、计算下列各题（每小题7分，共28分） 1．计算⎰++4.122dx x x2．求dx x x x⎰++5423．设⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2，求22dx y d 。

4．求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)11ln(lim 2x x x x 。

四、解答下列各题（每小题7分，共21分）1．在半径为R 的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值。

2．计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形的面积以及此图形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积。

3*．在由平面0232=+-+z y x 和平面03455=+-+z y x 所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点)1,3,4(0-M 。

3．在曲线上每一点),(y x M 处切线在y 轴上的截距为22xy ，且曲线过点)2,1(0M 。

求此曲线方程。

五、（7分）设函数)(x f 在[]30，上连续，在（0，3）内可导，且有⎰=1)3()(31f dx x xf 。

试证：必有)3,0(-∈ξ使ξξξ)()(f f -='。

答案 一、1.ln3；2.a =-1,b =2；3.1；4.ab2-；5.1. 二、1.A ；2.C ；3.B ；4.D ；5.C ；6.A.三、1.322；2.C x x x ++-++)2arctan(2)54ln(212；3.t t 412+；4.21.四、1. R r R H 36,31==，R V 334max π=；2.234ab π； 九、高等数学试题 2006/1/10一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是[ ]（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛；（C ）收敛数列必有界；（D ）收敛数列必单调。

2.设函数f (x )在U (x 0，)内有定义，对于下面三条性质： ① f (x )在x 0点连续；② f (x )在x 0点可导；③f (x )在x 0点可微. 若用“P Q ”表示由性质P 推出性质Q ，则应有[ ](A) ②③①；(B) ②①③；(C)③①②； (D) ①②③。

3.曲线xxy -=3[ ] (A)既有水平渐近线，又有垂直渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有垂直渐近线；(D)无任何渐近线。

4.设函数 f (x )在[a ,b ]上有定义，则⎰ba dx x f )(存在的必要条件是[ ](A) f (x )在[a ,b ]上可导；(B) f (x )在[a ,b ]上连续；(C) f (x )在[a ,b ]上有界；(D) f (x )在[a ,b ]上单调。

5. y = y (x )是微分方程y + 3y =e 2x 的解，且y (x 0) = 0，则必有[ ] (A) y (x )在x 0某邻域内单调增加； (B) y (x )在x 0某邻域内单调减少； (C) y (x )在x 0取极大值；(D) y (x )在x 0取极小值.6.若f (x )的导函数是sin x ，则f (x )有一个原函数是[ ](A) x sin 1+; (B) x sin 1-; (C) x cos 1-; (D) x cos 1+.二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共9小题, 每小题4分, 共36分）1.．________)11(lim =-+∞→xx x x 2.=+=x xx f 的可去间断点是111)(__________.3.______________,1arctan ==dy xy 则设　. 4.的值是dx xe x⎰-10_________.5.．________sin tan lim20=-→xx x x x 6..________,~sin 02=α→α+则时，x x x x 7..____________)3)(2(0=++⎰+∞x x dx8..____________,322232=⎩⎨⎧-=-=dxyd tt y t t x 则设9.._________________1)1(41==-=-y y y xdx dy 的特解是满足条件微分方程三、(8分)计算不定积分dx xxx ⎰+221arctan . 四、(8分)求曲线412623++-=x x x y 的升降区间, 凹凸区间及拐点. 五、(8分)求微分方程xxey y y -=+'+''323的通解.六、(10分)在[0，1]上给定函数2x y =，问t 为何值时,如图所示 阴影部分的面积1S 与2S 的和最小，何时最大？并求此时两图形 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

七、(6分)设上连续在],[)(b a x f ,且不恒为常数内可微在又),()(b a x f ,)()(b f a f =且.试证:.0)(),(>ξ'∈ξ∃f b a 使一、1．(C) 2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D) 6. (B)二、1.2e 2.0=x 3.dx xdy 211+-= 4.e 21- 5.316..25=α7. 23ln 8..)1(4322t dx y d -= 9.)ln 41(x x y -= 9*.k j i b a35--=⨯三、2211arctan ln(1)(arctan )22x x x x C -+-+四、),(+∞-∞内为上升曲线. 所以凸区间为]2,( -∞ , 凹区间为),2[∞+ , 拐点为)12,2( .五、)323(2221x x e e C e C y x x x-++=---.六、1,()2t S t =最小 所求体积为 =316π十、高等数学试题 2007/1/14一、选择题（本大题20分，共有5小题，每小题4分） 1．设数列{x n }收敛，{y n }发散，则必有[ ]成立。

（A ）lim n n n x y →∞存在； （B ）limn n n y x →∞存在；（C ）lim()n n n x y →∞+不存在；（D ）lim n n nx y →∞存在。

2.设11,0,()2,0,11sin ,0,x e x f x x x x x ⎧⎪+<⎪==⎨⎪⎪+>⎩则x = 0是f (x )的[ ]。

(A)可去间断点；(B) 跳跃间断点；(C) 无穷间断点； (D) 连续点。

3.设x 在点x 0处有增量x ，函数y = f (x )在x 0处有增量y ，又f (x 0) 0,则当x 0时，y 是该点微分d y 的[ ](A)高阶无穷小；(B) 等价无穷小；(C) 低阶无穷小；(D) 同阶但不是等价无穷小。

4.设f (x )在(, +)上二阶可导且为奇函数，又在(0, +)上f (x 0) > 0，f (x 0) > 0，则在(, 0)上必有[ ](A) f (x 0) < 0, f (x 0) < 0；(B) f (x 0) > 0, f (x 0) > 0；(C) f (x 0) < 0, f (x 0) > 0；(D) f (x 0) > 0, f (x 0) < 0。

5.设0α=⎰，120x dx β=⎰，γ=⎰，则有关系式[ ]成立。

(A) > > ； (B) > > ；(C) > > ；(D) > > . 二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分）1.120lim(1sin 3)________xx x →+=． 2.方程x 5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)内共有______个根.3.7222(1)sin x xdx ππ-+=⎰_________.4.________=．5.球体半径的增长率为0.02m/s ，当半径为2 m 时，球体体积的增长率为_________.6.微分方程y + 2y 3y = 0的通解为y = _________. 三、计算题(6分 4 = 24分)1.设2321ln ,.t x t d yy t dx ==⎧⎨=⎩求 2.求2011lim tan x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭. 3.求2.4．求微分方程(x – y )y d x – x 2d y = 0的通解.四、(10分)设y = x e x (0 x < +)，求函数的极大值，函数曲线的拐点，并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积.五、(8分)在曲线上任一点M (x , y )处切线在y 轴上的截距为2xy 2, 且曲线经过点M 0(1, 2)，求此曲线的方程.六、(8分)设2,01(),1,x x f x ax b x ⎧≤≤=⎨+>⎩适当选取a , b 值，使f (x )成为可导函数，令0()()x x f t dt ϕ=⎰，并求出(x )的表达式.七、(6分)设f (x )具有二阶连续导数，且f (a ) = f (b ), f (a ) > 0, f (b ) > 0, 试证：(a , b )，使 f () = 0.答案：一、1．(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.32e 2.1 3.2π4.2C + 5.0.32 6.C 1e3x+ C 2e x .三、1. 9. 2.13. 3.12arcsin 22x C -+. 4.xy x Ce =.四、极大值1(1)y e =, 拐点222,e ⎛⎫⎪⎝⎭，面积223A e e =-，体积245134V e e π⎛⎫=- ⎪⎝⎭。