东北大学高等数学(上)期末考试试卷2003.1.10一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共4小题, 每小题3分, 共12分）1． 设)(x f 处处连续，且3)2(=f ，则=→)2sin (3sin limxx f xx x ( )2． 函数31292)(23-+-=x x x x f 在闭区间( )单调减. 3． ⎰=xdx 2tan( )4． 已知,23→→→→--=k j i a →→→→-+=k j i b 2，则→→b a ,夹角的余弦是( ) 二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题共4小题, 每小题4分, 共16分)1．)()(x x e e x x f --=在其定义域),(+∞-∞是（ ）.（A ）有界函数； （B ）单调函数； （C ）奇函数； （D ）偶函数 2．设)100()4)(3)(2)(1()(+⋅⋅⋅+-+-=x x x x x x x f ，则)1(f '=（ ）. （A ）101！； （B ）-100！； （C ）100!101-； （D ）99!100-.3．定积分⎰4302sin πdx x =（ ） （A ）21；（B ）23； C ）21-；（D ）23-4．直线37423z y x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是（ ）（A ）平行，但直线不在平面上； （B ）直线在平面上； （C ）垂直相交； （D ）相交但不垂直. 三．试解下列各题（6⨯6=36分）1． 求极限)1(1lim2222---→xxx ex xe2.设222,ln cosdxy d x x y 求=3．设dy y x xy yxx y y ），求，所确定（由方程00arctan ln )(22≠≠=+=4．⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰22sin cos 220ππt dxy d udue y udu e x t utu。

其中，求设.5．⎰dx e x x 2求6．⎰>-aa dx x a x2220）（计算四、（6分）设)(01)1ln(0)(11x f x x x ex f x ，求⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-的间断点，并说明间断点的所属类型.五、（8分）求过点（2，0，-3）且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.六、（8分）求由曲线232x x y x y -==与所围城的平面图形的面积. 七、（8分）曲线631x y =（x>0）上哪一点的法线在y 轴上的截距为最小.八、（6分）设f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内二阶可导，且()()0f a f b =≥，又有()0f c <()a c b <<.试证：在内至少存在两点1212()0()0f f ξξξξ''''>>，使，.高等数学参考答案 2003.1.10一、填空题, 每小题3分,共4小题,(1) 9; (2)[]1,2; (3) tan x - x +C; (4)-.二、选择题, 每小题4分,共4小题. (1) D; (2) C; (3) B; (4) A. 三、每小题6分,共6小题.1. 原式=2241limxx ex x→--=2322lim4xx xexx→-=2201lim2xx ex→-221lim 22x xx→==.2.2cos 2cos sin ln x y x x x x'=-+2cos sin 2ln x x x x=-+22sin 2sin cos cos 22ln x x x xy x x xx--''=-⋅-+222sin 2cos 2cos 2ln .xx x x xx=-⋅-+3. 22xdx ydyx y++=22xdy ydxx y-+,.x y dy dx x y+=-4. cos ,sin ,ttdxdy e t e t dt dt==tan .dy t dx=223tan 1.cos t d y d t dt dxdt dx e t =⋅=⋅5. 原式=22xxx e xe dx-⎰=222.xxxx e xe e C -++6. 原式=222220sin cos a t a tdtπ⎰=422420sin (1sin )16at t dt aππ-=⎰.四、解x =1是间断点，10lim ()x f x →-=1110lim 0,x x e-→-=10lim ()x f x →+=1110lim ,x x e-→+=+∞故x =1是第二类间断点x =0是间断点，00lim ()x f x →-=00lim ln(1)0,x x →++=00lim ()x f x →+=e -1.故x =0是跳跃间断点(或第一类间断点) .五、法向量n ={}12416,14,11352ij k-=--，所求平面方程为16(2)1411(3)0x y z --+++=即161411650x y z -+++=.六、解交点为32,2,y x y x x ⎧=⎨=-⎩得到0,2,1,x x x ==-=A =0322(2)x x x dx--+⎰+0322(2)x x x dx----⎰=042321143x x x -⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦+124301143x x x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ =8(44)3+++(111)43--=3712.七、解设曲线上点为（61,3x x），52y x '=. 法线方程为6511()32Y x X x x-=--，在y 轴上的截距为641132b x x =+，5522db x dxx =-，2424110()d bx dxx=+令0dbdx=，得到x =1，且正根只有一个，可微函数在定义域内只有一个驻点，是极小值点.所以x =1为b (x )的最小值点，所求点为（1，13）. 八、解因为f (x )在[],a b 上连续，f (x )在[],a b 上取最小值，又f (a )=f (b )≥0,且f (c )<0(a<c<b),(a <c <b ),所以f (x )必在（a,b ）内某一点x 0取最小值，且f (x 0)<0,又因为f (x )在（a,b ）内可导，x 0为极小值点（a < x 0<b ），所以0()0,f x '= f (x )在[][]00,,,a x x b 上都满足Lagrange 中值定理条件，所以有01100()()()0,f x f a f a x x a ηη-'=<<<-，02020()()()0,f b f x f x bb x ηη-'=><<-，又()f x '在[][]1002,,,x x ηη上都满足Lagrange 中值定理条件，所以有 01101()()()f x f f x ηξη''-''=-101()0.f x ηη'-=>-110x ηξ<<20220()()()f f x f x ηξη''-''=-=220()0.f x ηη'>-022x ξη<<.所以1()0,f ξ''>2()0f ξ''>.1a b ξ<<2a bξ<<.。