本节重点：熟练掌握单跨梁的弯曲要素表 。
迭加： • （1）先分开画，再叠加； • （2）同号相加，异号相减（注意基线的选取)； • （3）标上正负号、画上阴影线、标上关键点的 值；
注意： ¾弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合，竖 标M °，如同M、M′一样垂 直 杆 轴 AB ， 而 不 是 垂 直 虚 线。 ¾利用叠加法绘制弯矩图可以 少求一些控制截面的弯矩值，
q(x)
x
+ +
b c d
b
c c
∫ 2
q(ξ) 2a EI
3
V3 [a( x − ξ)]dξ
y
三、例题：
计算两端刚性固定受均布荷重作用的弹性基础 梁，求出梁的挠曲线方程和转角、弯矩和剪力。
解：建立如图所示的坐标系;
先计算积分，利用函数 V3 和 V0 之间的微分关系得：
讨论：（1）、当 k ↑, u = l
本堂课小结：
符号法则 梁的弯曲微分方程式 初参数法 边界条件
§2－3梁的弯曲要素及应力计算
事实上很多遇到的单跨梁问题常常并不需要用上面的弯曲理论步骤 进行计算求解，目前大部分单跨梁的弯曲要素都已事先算好并列成表格 （弯曲要素表）可查用。
一、梁的弯曲要素表 由于目前梁的弯曲公式是在小变形与材料符合 虎克定律的前提下导得的，所以梁的弯曲要素与梁 上的外载荷成正比，或梁的弯曲要素与外力成线性 关系。 这样如果梁上受到几种不同的外力作用时 , 就可以用“叠加原理”Principle of superposition来进 行计算。
My
1、矩形梁
梁的剪应力是由于梁在一般弯曲时各断面上的正应力不相等而引 起的,微块左右两断面上的正应力相差一增量 dσ ，为了保持力的平 衡，在微块的水平截面上就产生有剪应力，又根据剪应力成对定理， 在微块的横断面上也就有了剪应力。
（1）正应力
My σ =− I
（2）剪应力 其中：
NS τ= Ib
式中:
r ( x) 为连续分布的反力，支座反力对支座向下
P
为正，对梁向上为正，
k 弹性基础的刚性系数（单位：N / m 2 ）
二、微分方程及其解
弯曲微分方程
EIv = q( x)
(4)
q 用 (q − kv) 代替
EIv + kv = q
(4)
齐次方程的通解：
齐次方程：
式中：
v = C1chax cos ax + C2 chax sin ax + C3 shax cos ax + C4 shax sin ax
推广到一般情况，挠曲线方程为： v = v0V0 (ax) + + θ0 M0 N0 V1 (ax) + 2 V2 (ax) + V3 (ax) 3 2a EI 2 2a EI 2a
M
oaBiblioteka am V2 [a( x − a)] 2 2a EI N0 V3 [a( x − b)] 3 2 2a EI
x
P
假定弹性固定端的柔性系数为a、刚性系数为K， 则固定端在M作用下的转角为: θ = αM＝M / K
θ
θ
５.一般情况
左端 : v = − AEIv' "、v ' = αEIv" （弹性固定在 弹性固定 右端 : v = AEIv' "、v ' = −αEIv"
弹性支座上 弹性支座 ）
6.完全自由端
v' " = v" = 0
3 弹性支座 v " = 0、v = m AEIv"'（自由支持在弹性支座上） 弹性支座
v' = 0、v = m AEIv"' （刚性固定在弹性支座上）
假定弹性支座的柔性系数为A、刚性系数为K，则 支座在R作用下的位移为:
v = AR＝R / K
P
） 弹性固定 4弹性固定端 v = 0、v ' = ±αEIv" （弹性固定在刚性支座上
2
k ↑ 4EI
辅助函数 < 1, ↓ 改善弯曲，弹性基础使
梁的弯曲要素减小； （2）、k = 0(u = 0), 辅助函数 = 1，相当于普通梁； （3）、 k = const时，即 u = const ，可由迭加法（如下图所示）。
M
M
M
(b)
( a)
M
( c)
第二章 单跨梁弯曲理论
本章小结：
单跨梁的弯曲微分方程式 符号法则 初参数法 弯曲要素的迭加法 弯矩图、剪力图画法 剪切对梁弯曲要素的影响 梁的复杂弯曲 弹性基础梁弯曲
初参数法求解单跨梁弯曲要素的步骤 1. 梁上载荷情况 + 式（ 2-16 ） Æ 含有 4 初参数的挠 曲线; 2. 列左端边界条件（初参数）并代入，将挠曲线 化简； 3. 列右端边界条件（挠度及其导数），得到求解 剩余初参数的方程并求解； 4. 写出挠曲线具体表达形式，据题意求相应的弯 曲要素。
对前面所述的弯曲变形计算作一次剪切修正。
做法:不改变基本关系 EIυ ′′ = M
,而是在求出了梁的剪应力后，单 独考虑剪应力产生的弯曲变形，再把所得变形与不考虑剪切时的结果 相加。
§ 2-5梁的复杂弯曲
一、梁复杂弯曲的微分方程式
（轴向拉力为例）
(2)齐次通解：
k=
e x − e−x shx = 2
弯曲要素
v
向下为正（与y、q、P同向）。 顺时针方向为正。
θ = v′
M = EIv′′ 梁上拱为正
N = EIv′′′ 使微段逆时针转动为正。
q = EIv IV
向下为正。
ρ
θ
ε
“初参数法”
M0 x2 N0 x3 v = v0 + θ0 x + + + 2EI 6EI
Μ( x − a)2 P + ( x − b)3 + a b 2EI 6EI
注意：用到剪力边界条件时，
N = EIv′′′ m Tv′
例：受均布荷重，两端自由支持并 受轴向拉力T 作用的梁，计算其 弯曲要素。
§2-6 弹性基础梁的弯曲 一、概述
船舶进坞坐墩时船体梁； 甲板板架纵桁计算…….
P P
定义：弹性基础
r ( x) ∝ v( x)
r(x)
即：r ( x) = kv( x)
四个积分常数与梁端的弯曲要素有关，有关系式：
普氏函数的性质：（1）循环微分的性质： V1′(ax) = 2 ⋅ aV0 (ax) V2′(ax) = 2 ⋅ aV1 (ax) V3′(ax) = 2 ⋅ aV2 (ax) V0′(ax) = − 2 ⋅ aV3 (ax)
上述关系可描述为：
方程式可写成：
剪流
N f = ∫ ytds I 0
s
S = ∫ ytds
0
s
对于通常的船用工字钢断面，计算结果表明，剪流在腹板 中的分布相当平坦，其最大剪应力可近似表达为（ Aw 为腹板 面积）： N
τ max =
Aw
§2－4 剪切对弯曲变形的影响（只是了解） 在上述讨论梁的弯曲变形时都没有考虑剪切力的 作用，表现在梁的弯曲微分方程式是由关系式 梁的弯曲微分方程式 EIv′′ = M 导得的，该公式是在平断面假定，即纯弯曲时才是 平断面假定 正确的；也就是式中的 v是由弯矩M引起的。
e x + e− x chx = 2
T EI
(2)“初参数”：
q = EIv (4 ) − Tv′′
(2)“初参数”：
轴向拉力时的挠曲线方程 :
轴向压力时的挠曲线方程 :
复杂弯曲梁初参数法求解
1.梁上载荷情况+式（2-60或2-61）Æ含有4初参数的挠曲线; 2.列左端边界条件并代入，将挠曲线化简； 3.列右端边界条件，得到求解剩余初参数的方程并求解； 4.写出挠曲线具体表达形式，据题意求相应的弯曲要素。
c
∫
x
c
q(ξ )dξ ( x − ξ )3 6EI
M 0、N 0、θ 0、v 0
初始弯曲参数。
支座及边界条件 1 自由支持
v = 0、v " = 0( M = EIv '' )
不允许梁端发生挠度，而对梁 的转动无限制
2 刚性固定
v = 0、v ' = （ 0 θ = 0）
梁在刚性固定端处挠度与转角均为零而 弯矩、剪力不等于零
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓
MA
q
MB
＝
MA MA M' q M°
MB MB
＋
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓
MA
M M' M°
M B
二、梁的剪力(在一般弯曲情况下，梁断面有正应力与剪应力)
相应于我们规定的符号法则，断面距中性轴y处的正应力为 σ = − I 梁的正应力沿断面高度为线性分布，沿断面宽度为均布，
（材料力学里定义公式）
S=∫
h/2
y
ydA
为断面自ｙ到边缘部分的面积对中性轴的静矩
N h2 τ = ( − y2 ) 2I 4 3N N A ＝ 则（ s 有效抗剪面积） τ max = 2 A As
b h2 矩形： S = ( − y 2 ) 2 4
2、薄壁梁
薄壁断面，因为其壁厚甚小，故可认为剪应力沿壁厚为 均匀分布，这样我们常把剪应力与壁厚的乘积 τ t = f 来研究。此 f 称为剪应力流，简称“剪流”(shear flow)，