Mp，当荷载增加到 极限荷载时，跨中 MP
Pe<P<PP
弯矩达到Mp 。
A
C
B
极限荷载 Pp 的确 MP
Pl 4
定可采用静力法，
也可采用虚功法 。
MP
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§11-2 一维问题弹塑性分析
静力法
P
根据平衡方程
A l/2 C l/2
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足
屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变
形存在。卸载按线性弹性。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
o O’
p e
软钢 -
合金钢 -
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进
入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变
z a
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§11-2 一维问题弹塑性分析
2.4 超静定梁的极限荷载
超静定梁由于具有多余约束，因此必须有 足够多的塑性铰出现，才能使其变为机构。
下面举例说明这个过程。
P
一端固定、一端简支 A 的等截面梁，跨中受集
l/2 C
l/2
B
中荷载作用。
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37
§11-2 一维问题弹塑性分析
第十一章 塑性力学基础
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型 §11-2 一维问题弹塑性分析
§11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e等 效应变 e、罗德（Lode）参数
§11-4 屈服条件 §11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力 §11-6 弹塑性应力应变关系增量理论
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’s s
A
BC
合金钢 -
o
O’
p e
当应力－应变曲线在OA范围内变化，材料
为弹性变化。当应力达到 s时（软钢有明显
屈服发生(AB段），合金钢无明显屈服发生） 将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的
条件为
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3
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数）
P Pe (1 a b)b Pa (P Pe )b
EA
EA(1 a b)
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§11-2 一维问题弹塑性分析
(3)塑性解：
N1=sA , N2=sA
P Pp
Pe
则最大荷载 Pp=2sA
——极限荷载
e
这时杆件变形显著增加，丧失承载能力
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§11-2 一维问题弹塑性分析
响为主要的;
M
x
M
y
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§11-2 一维问题弹塑性分析
2.2梁具有两个对称轴截面的弹塑性弯曲:
(1) 梁的弯矩
M
x
M
在线弹性阶段
y
b
弹性极限状态（设矩形截面）: M=Me
hz y
在 截 面 上 y=h/2 处 ， max
s
Meh 2I
Me bh2 6
或 M e ——s 最b6h大2 弹性弯矩
得
N1 P /(1 a b)
最大弹性荷载
N2 (P a b) (1 a b)
Pe N1(1 a b) s A(1 a b)
力P 作用点的伸长为
e
N1a EA
Pea (1 a )EA
sa
E
b
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§11-2 一维问题弹塑性分析
(2)弹塑性解Pp P Pe : P = Pe 后，P 可继续增大，而 N1=sA 不增加
形，卸载按线弹性。对于强化特性明显的材料，
由O’点继续加载，在O’B段又是线性弹性变化，
当 达到B点再次发生塑性变形，
’s s
A
B
o
O’
p e
C - ’s=0——后继屈服函数 ’s=’s( p)
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
当卸载后，反向加载时，有些金属材料反
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§11-2 一维问题弹塑性分析
s
s
+ h/2
s
y0 -
y0
y
+
s
x
s
y y0
弹塑性阶段：Mp M Me
弯矩继续增大，截面上塑性区域向中间扩展， 塑性区域内的应力保持不变，截面上弯矩为
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§11-2 一维问题弹塑性分析
s
s
+ h/2
s
y0 y0
+
s
y
x
s
y y0
作业：图示桁架各杆截面面积为 A , 材料为理 想弹塑性 ,求荷载 P 与 C 点竖向位移 关系。
A
DB
l
C
P
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§11-2 一维问题弹塑性分析
2.梁的弹塑性弯曲 2.1 假设: (1)材料为理想弹塑性;
(2)平截面假设(适用于l h);
s
-s
(3) 截面上正应力 x 对变形影
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI ( M Me ), 或
M
EI
将应力与弯矩关系式 My代入上式,可得
I
Ey
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§11-2 一维问题弹塑性分析
在弹塑性阶段，由于梁弯曲 时截面仍然保持平面，可得
s 或
Ey0
s
y0 y0
+
s
y
x
s
y y0
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§11-2 一维问题弹塑性分析
（1）弹性解：
当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为
a
N1a EA
b
N2b EA
代入变形协调方程为
N1a N2b 0 或
EA EA
a N2 N1 b
由于b a，所以 N1 N2 ，将 N2 N1 a b
代入平衡方程。
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§11-2 一维问题弹塑性分析
M
A
x
ydA
2b
y0
0
s
y y0
ydy
h2
y0
s ydy
b
s
h2 4
y02 3
当y0=h/2时： M M e
b
s
h2 4
h2 12
s
bh 6
2
——最大弹性弯矩
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§11-2 一维问题弹塑性分析
s
s
s
+ h/2
s
y0 -
-
y0 +
s
y
x
s
y y0
+
s
M
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§11-2 一维问题弹塑性分析
b
F2
s
-
-
-
h
z
+
+ F1
+
y
s
s
s
在塑性流动阶段：受拉区应力和受压区应力均为 常数，中性轴的位置由截面上合力为零来确定:
F1 = F2 或 s A1 = s A2
得 A1 = A2 ——中性轴的位置由受拉区截面面
积等于受压区截面面积确定。
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.1单向拉压实验：
不同材料在单向拉压实验中，有不同的 应力－应变曲线。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
软钢 -
o O’
p e
合金钢 -
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
C
软钢 - s A B
o
p
e
p
e
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§11-2 一维问题弹塑性分析
s
-
+
+ -
+ +
s
- = +-
s
M I
y
y y0
x
y
s 0
y M I
y
y0 y y0
s
M I
y
y y0
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§11-2 一维问题弹塑性分析
2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
M
x
y
b
M
z
h
y
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点： 随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。
当软钢应力达到A点后，软钢有明显屈服 （塑性流动）阶段。
经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为
强化阶段，BC段），但强化阶段 增幅较少。
A
s
B
C
’s s
A
B
软钢 -
o
p
e
p
e
o
O’
p e
C
合金钢 -
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段
映出反向加载的屈服极限 ’’s s —— 称为