求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。

求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。

求动点轨迹的常用方法动点P 的轨迹方程是指点P 的坐标（x, y ）满足的关系式。

1. 直接法（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。

例题 已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长等与MQ ，求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(x,y)，直线MN 切圆C 于N 。

依题意：MN MQ =，即22MN MQ = 而222NO MO MN-=,所以(x-2)2+y 2=x 2+y 2-1 化简得：x=45。

动点M 的轨迹是一条直线。

2. 定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。

依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。

例题：动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：0822=-+x y x 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r 。

若圆M 与圆C 相外切，则有 ∣M C ∣=r ＋4 若圆M 与圆C 相内切，则有 ∣M C ∣=r-4 而∣M P ∣=r, 所以∣M C ∣-∣M P ∣=±4动点M 到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。

其中a=2, c=4。

动点的轨迹方程为： 3. 相关点法若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y 0)的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程。

这种方法称为相关点法。

例题：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22:(1)4C x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

解：设M(x,y), A(B A y x ,), 依题意有：x=24A x +, y=23Ay + 则：x A =2x -4, y A =2y-3, 因为点A(B A y x ,)在圆22:(1)4C x y ++=上，所以点M 的轨迹方程为： 动点M 的轨迹为以（2,23）为圆心，1为半径的圆。

4. 参数法例题：已知定点A （-3,0），M 、N 分别为x 轴、y 轴上的动点（M 、N 不重合），且MN AN ⊥,点P 在直线MN 上，MP NP 23=。

求动点P 的轨迹C 的方程。

解：设N(0,t), P(x,y ) 直线AN 的斜率3t k AM =， 因为MN AN ⊥，所以直线MN 的斜率tk MN 3-=直线MN 的方程为y-t=x t3-,令y=0 得x =32t ,所以点M(32t ,0)),(t y x NP -=, ),3(2y t x MP -=由MPNP 23=, 得 x=3(232t x -), y-t=y 23,则 所以动点P 的轨迹方程为：x y 42=5. 交轨法例题：如图，在矩形ABCD 中，8,4,,,,AB BC E F G H ==分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设)0(,≠==λλλCF CQ OF OP 。

求直线EP 与GQ 的交点M 的轨迹Γ的方程。

解：设(,)M x y ，由已知得(4,0),(4,22)P Q λλ-，则直线EP 的方程为22x y λ=-，直线GQ 的方程为22x y λ=-+， 即 y+2=λ2xy-2= - 2xλ两式相乘，消去λ即得M 的轨迹Γ的方程为221(0)164x y x +=≠． 练习与答案1. 设圆C 与圆x 2+（y.3）2=1外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为 A A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆2. 已知圆221:(4)25M x y ++=，圆222:(4)1M x y -+=，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

(x>0)3. 过点A(4，0)作圆O ∶x 2+y 2=4的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹。

(x-2)2+y 2=4 (0≤x<1)4. 已知圆C ：2)3(-x +(y-4)2=1, 动点P 是圆外一点，过P 作圆C 的切线，切点为M ， 且︱P M ︱=︱P O ︱（O 为坐标原点）。

求动点P 的轨迹方程。

提示：︱P O ︱2=︱P M ︱2=12-PC3x+4y-12=05. 已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P 到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等.求点P 的轨迹方程。

解：动点P 到圆C 1的最短距离为︱PC 1︱-1,动点P 到圆C 2的最短距离为︱PC 2︱-1, 依题意有：︱PC 1︱-1=︱PC 2︱-1， 即︱PC 1︱=︱PC 2︱所以动点P 的轨迹为线段C 1C 2的中垂线。

所以动点 P 的轨迹方程为：2x+y-5=06. 已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为12,A A , 点P （12,x y ），Q （12,x y -） 是双曲线上不同的两个动点。

求直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程。

解：由12,A A为双曲线的左右顶点知，12(A A1:A P y x =+，2:A Q y x =，两式相乘222121(2)2y y x x -=--，因为点11(,)P x y 在双曲线上，所以221112x y -=，即2121122y x =-，故221(2)2y x =--， 所以2212x y +=，即直线1A P 与2A Q 交点的轨迹E 的方程为2212x y += 7. 已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程。

解：（1）联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)25,21(Q ，设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则225,221ty s x +=+=，即252,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上， ∴2)212(252-=-x y 化简可得8112+-=x x y ，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4541<<-x ，∴中点M 的轨迹方程为8112+-=x x y （4541<<-x ）. 8. 已知点C （1，0），点A 、B 是⊙O ：229x y +=上任意两个不同的点，且满足0=⋅，设P 为弦AB 的中点。

求点P 的轨迹T 的方程。

解： 连结CP ，由0AC BC ⋅=，知AC ⊥BC∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝1||2AB ，由垂径定理知222||||||OP AP OA += 即22||||9OP CP +=设点P （x ，y ），有2222()[(1)]9x y x y ++-+= 化简，得到224x x y -+=。

9.设椭圆1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足)(21+=，当l 绕着M 旋转时，求动点P 的轨迹方程。

解：直线l 过点)1,0(M ，设其斜率为k ，则直线l 的方程为1+=kx y ， 记),(11y x A ，),(22y x B ，由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x ),(22y x是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 的解，其方程组中消取y 得032)4(22=-++kx x k∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=+2212214842k y y k k x x ∵ )(21OB OA OP +=∴点P 的坐标为)2,2(2121y y x x ++ 即：点P 为)44,4(22kk k ++-，设点P 为),(y x ，则P 点的轨迹参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=22444k y k k x （k 为参数） 消去参数k 得：0422=-+y y x当斜率k 不存在时，A 、B 的中为原点（0，0）也满足上述方程，故：动点P 的轨迹方程为0422=-+y y x 。

10. 设圆C 与两圆2222(5)4,(5)4x y x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切。

求圆C 的圆心轨迹L 的方程。

解：两圆半径都为2，设圆C 的半径为R ，两圆心为1(5,0)F -、2(5,0)F ，由题意得12||2||2R CF CF =-=+或21||2||2R CF CF =-=+，1212||||||425||CF CF F F ∴-=<=，可知圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，设方程为22221x y a b -=，则22224,2,5,1,1a a c b c a b ====-==，所以轨迹L 的方程为2214x y -=．11. 如图所示，已知P （4，0）是圆3622=+y x 内的一点。

A 、B 是圆上两动点，且满足090=∠APB ,求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设R(x,y), 依题意，有｜OR ｜2+｜RA ｜2=36,而｜RA ｜=｜RP ｜,所以 ｜OR ｜2+｜RP ｜2=36, 即 化简得：14)2(22=+-y x设Q(X, Y),因为R(x,y)是 QP 的中点，所以有 x =24X +,y=2Y,故 化简得：X 5622=+Y12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP 。

当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程。

解：如图1，设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q ，|2|,x =+即24(1)(1).y x x =+≥-①另一种情况，见图2（即点M 和A 位于直线OP 的同侧）。

MQ 为线段OP 的垂直平分线，又,.MPQ AOP MOQ AOP ∠=∠∴∠=∠ 因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(,0).x为分析(,0)M x x 中的变化范围，设(2,)P a -为l 上任意点().a R ∈由||||MO MP =（即||x =故(,0)M x 的轨迹方程为0,1y x =≤-②综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为13. 点M 是椭圆2214y x +=上的动点。