高三数学轨迹方程50题及答案求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法,待定系数法. (1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程. (2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程.(5)交轨法若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点,我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程.(6)待定系数法求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题:1、方程y=122+--x x 表示的曲线是: ( ) A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x -1)2+(y+2)2](x 2-y 2)=0表示的图形是: ( ) A 、两条相交直线 B 、两条直线与点(1,-2) C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(-1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为-1,则p 点的轨迹方程是: ( ) A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1) C 、x 2+y 2=1(x ≠1) D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍,等于该点到原点距离的平方,则动点的轨迹方程是: ( )A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x -y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A (4,0)的距离之比为2,则P 点的轨迹是:( )A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在(5,0)的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在(5,0)的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4,过A (4,0)作圆的割线ABC ,则弦BC 中点的轨迹方程是 ( ) A 、(x -2)2+y 2=4 B 、(x -2)2+y 2=4(0≤x <1) C 、(x -1)2+y 2=4 D 、(x -1)2+y 2=4(0≤x <1)7、已知M (-2,0),N (2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是: ( ) A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为: ( ) A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F (3,0)的距离比它到直线x+4=0 的距离小1,则点M 的轨迹方程是:( ) A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1,点A (1,0),△ABC 内接于圆,且∠BAC=60°,当B 、C 在圆上运动时,BC 中点的轨迹方程是 ( ) A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41(x<41) 11、抛物线过点M (2,-4),且以x 轴为准线,此抛物线顶点的轨迹方程是 ( ) A 、(x -2)2+(y+4)2=16 (0)yB 、(x -2)2+4(y+2)2=16 (0)yC 、(x -2)2-(y+4)2=16D 、(x -2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称,椭圆C 的方程是( ) A 、22(2)(3)149x y B 、22(2)(3)194x yC 、22(2)(3)194x y D 、22(2)(3)149x y13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点,P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点,则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y C.14922=-y xD.14922=-x y14、中心在原点,焦点在坐标为(0,±52)的椭圆被直线3x -y -2=0截得的弦的中点的横坐标为21,则椭圆方程为 ( )12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x15、已知⊙O :x 2+y 2=a 2, A(-a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点,则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 ( ) A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2-y 2=4a 2 D 、x 2-y 2=a 2二、填空题:16、动圆与x 轴相切,且被直线y=x 所截得的弦长为2,则动圆圆心的轨迹方程为 . 17、过原点的动椭圆的一个焦点为F (1,0),长轴长为4,则动椭圆中心的轨迹方程为 . 18、曲线x 2+4y 2=4关于点M (3,5)对称的曲线方程为 . 19、经过抛物线y 2=4x 的焦点的弦中点轨迹方程是 .20、倾斜角为4π的直线交椭圆42x +y 2=1于A 、B 两点,则线段AB 中点的轨迹方程是 .21、两条直线ax+y+1=0和x -ay -1=0(a ≠±1)的交点的轨迹方程是 .三、解答题:22、已知动点p 到定点F (1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求p 点的轨迹方程.23、求以直线2:-=x l 为准线,原点为相应焦点的动椭圆短轴MN 端点的轨迹方程.24、设△ABC 的两顶点B 、C 坐标为(-1,0),(1,0),当∠BAC=3时,求动点A 的轨迹方程.25、线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ,|AB|=2a ,|CD|=2b ,动点P 满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,求动点P 的轨迹方程.26、 点A(-1,0)、B(2,0),动点M 满足2∠MAB=∠MBA ,求点M 的轨迹方程.27、已知椭圆162422y x +=1,直线l :812y x +=1, P 是l 上一点,射线OP 交椭圆于R ,又点Q 在OP 上,且满足|OQ||OP|=|OR|2,当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程.28、△ABC 的底边BC=16,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.29、(2007北京)矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ,,AB 边所在直线的方程为360x y --=,点(11)T -,在AD 边所在直线上.(I )求AD 边所在直线的方程;(II )求矩形ABCD 外接圆的方程;(III )若动圆P 过点(20)N -,,且与矩形ABCD 的外接圆外切,求动圆P 的圆心的轨迹方程.30、已知△ABC,A(-2,0)、B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.31、如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.2007年11月20日 zishi 编辑第 4 页共 24 页32、已知定点A(3,0),p是圆O:x2+y2=1上的一动点,且∠AOP的平分线交直线PA于Q,求点Q的轨迹.33、点Q 为双曲线x 2-4y 2=16上任一点,定点A(0,4),求内分AQ 所成比为21的点P 的轨迹.34、已知直线l 过原点与抛物线C :y=x 2-2x+2有两个交点P 、Q 、M 为射线OP 上的点,且||1||1||1OQ OP OM +=(O 为原点),求M 的轨迹方程.35、过点A (0,a )作直线与圆(x -2)2+y 2=1顺次相交于B 、C 两点,在BC 上取满足BP :PC=AB :AC 的点P ,(1)求点P 的轨迹方程.(2)证明不论a 取何值,轨迹恒过一定点.3、已知椭圆C:和点P (4,1),过P 作直线交椭圆于A 、B 两点,在线段AB 上取点Q ,使,求动点Q 的轨迹所在曲线的方程及点Q 的横坐标的取值范围.37、已知直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有且仅有一个交点Q ,且与x 轴、y 轴分别交于R 、S ,求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程.38、(05广东)在平面直角坐标系x Oy 中,抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO (如图4所示).(Ⅰ)求△AOB 的重心G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.39、(2005江西)21.(本小题满分12分)如图,M 是抛物线上y 2=x 上的一点,动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点,且MA=MB. (1)若M 为定点,证明:直线EF 的斜率为定值;(2)若M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心G 的轨迹方程.40、设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ,,是椭圆上的一点,212AF F F ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为113OF . (Ⅰ)证明2a b =;(Ⅱ)设12Q Q ,为椭圆上的两个动点,12OQ OQ ⊥,过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ,垂足为D ,求点D 的轨迹方程.41、(已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ,两点.(I )若动点M 满足1111FM F A F B FO =++(其中O 为坐标原点),求点M 的轨迹方程;(II )在x 轴上是否存在定点C ,使CA ·CB 为常数?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.42、设点A 和B 为抛物线y 2=4px (p >0)上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)43、如图,P 是抛物线C :y=21x 2上一点,直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直,l 与抛物线C 相交于另一点Q.(Ⅰ)当点P 的横坐标为2时,求直线l 的方程; (Ⅱ)当点P 在抛物线C 上移动时,求线段PQ 中点M 的 轨迹方程,并求点M 到x 轴的最短距离.44、双曲线2222by a x =1的实轴为A 1A 2,点P 是双曲线上的一个动点,引A 1Q ⊥A 1P ,A 2Q ⊥A 2P ,A 1Q 与A 2Q的交点为Q ,求Q 点的轨迹方程.45、已知点P 在直线x=2上移动,直线l 通过原点且与OP 垂直,通过点A (1,0)及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ,求点Q 的轨迹方程.46、如图,给出定点A(a,0) (a>0)和直线L:x=-1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于C,求点C的轨迹方程.47、过抛物线y2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA,OB,(1)求AB中点p的轨迹方程.(2)求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程.(求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程.)48、已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一直线l:y=x,设长为2的线段AB(A在B下方)在直线l上移动,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.49、已知⊙M :x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点, QA ,QB 分别切⊙M 于A ,B 两点, (1)如果324||=AB ,求直线MQ 的方程; (2)求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.50、已知椭圆C 的方程为222y x +=1,点P(a, b)的坐标满足≤+222b a 1,过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点,点Q 为线段AB 的中点,求: (1)点Q 的轨迹方程.(2)点Q 的轨迹与坐标轴的交点个数.求轨迹方程答案1、C2、B3、B4、C5、B6、B7、C8、C9、A 10、D 11、B 12、A 13、C 14、C 15、D 16、22220xy xy 17、2219()24xy 18、22(6)4(10)4x y19、22(1)yx 20、4440(55)55x yx21、221010({{x x y y x yx y 且) 22、2412(4){x x y(03)(34)x x23、解:设M (x ,y ),过M 作l MA ⊥于A ,22||y x MO +=,2||+=x MA ,∴e x y x =++222,又过M 作x O M ⊥'轴于O ',因为点M 为短轴端点,则O '必为椭圆中心,∴c x O O =='||,22||y x a MO +==,∴22yx x ac e +==,∴22222yx x x y x +++化简得y 2=2x ,∴短轴端点的轨迹方程为y 2=2x (x ≠0).24、2234()33x y(y>0)和2234()33x y(y<0) 25、解 以AB 中点O 为原点,直线AB 为x 轴建立直角坐标系,如图2-4所示.设P(x ,y),又A(-a ,0)、B(a ,0)、C(0,-b)、D(0,b),由题设知|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.26、解 设点M(x ,y),∠MAB=α,则∠MBA=2α, tan α=k MA =(1)∵∠MBA=2∠MAB ,∴|MA|>|MB|.(2)当∠MBA=90°时,MB 的斜率不存在,此时△MAB 为等腰直角三角形,求得点M(2,3)或M ′(2,-3).经验证,点M 或M ′在曲线上. (3)当点M 为线段AB 的内分点时,满足题设∠MBA=2∠MAB ,∴y=0,且-1<x <2是轨迹的一个方程. (4)点M 在x 轴下方时,∠MBA 为MB 的倾斜角,此时MA 的倾斜角为π-∠MAB .用同样的方法,可求得上述方程.27、2223460(00)x y x y x y 且28、以直线BC 为x 轴,线段BC 的中点为原点建立直角坐标系2222(1)1(0)10036(2)1(0)900324x y y x yy 29、解:(I )因为AB 边所在直线的方程为360x y --=,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为3-. 又因为点(11)T -,在直线AD 上, 所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+.即320x y ++=.(II )由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩,解得点A 的坐标为(02)-,, 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ,.所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心. 又22(20)(02)22AM =-++=.从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.(III )因为动圆P 过点N ,所以PN 是该圆的半径,又因为动圆P 与圆M 外切,所以22PM PN =+,即22PM PN -=.故点P 的轨迹是以M N ,为焦点,实轴长为22的双曲线的左支. 因为实半轴长2a =,半焦距2c =.所以虚半轴长222b c a =-=.从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(2)22x y x -=-≤ 30、解 设△ABC 重心为G(x ,y),顶点C 的坐标为(x 1,y 1),由重心坐标公式得∴y=9x 2+12x+3,即为所求轨迹方程.31、解:设AB 的中点为R ,坐标为(x ,y ),则在Rt △ABP 中,|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点,依垂径定理:在Rt △OAR 中,|AR |2=|AO |2-|OR |2=36-(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x -4)2+y 2=36-(x 2+y 2),即x 2+y 2-4x -10=0因此点R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y ),R (x 1,y 1),因为R 是PQ 的中点,所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2-4x -10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x -10=0 整理得:x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 32、29(3)16xy 33、2294(38)16x y34、220(22)y x y x35、(1)22222323230()44aa aa x ay ya a (2) 3(,0)236、解:设()),(),(,,2211y x Q y x B y x A ,,则由QBAQPB AP -=可得:x x x x x x --=--212144,解之得:)(82)(4212121x x x x x x x +--+=(1)设直线AB 的方程为:1)4(+-=x k y ,代入椭圆C 的方程,消去y 得出关于 x 的一元二次方程:()08)41(2)41(412222=--+-++k x k k x k(2)∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=+.128)41(2,12)14(42221221k k x x k k k x x 代入(1),化简得:.234++=k k x (3) 与1)4(+-=x k y 联立,消去k 得:().0)4(42=--+x y x在(2)中,由02464642>++-=∆k k ,解得41024102+<<-k ,结合(3)可求得 .910216910216+<<-x 故知点Q 的轨迹方程为:042=-+y x (910216910216+<<-x ). 37、 解:从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,由已知,直线l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程,222222b a y a x b =+ 得 .)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后,得关于x 的一元二次方程.02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=∆ 由已知,得△=0.即.2222m b k a =+ ①在直线方程m kx y +=中,分别令y=0,x =0,求得).,0(),0,(m S kmR -令顶点P 的坐标为(x ,y ), 由已知,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理,得 12222=+y b x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程.38、(I )设1122(,),(,),(,)G x y A x y B x y ,则消去1212,,,x x y y 得2223y x =+; (II )222244112212111()()2222AOB S OA OB x y x y x x ∆==++=++ 21212()212x x ≥+=,当4412x x =,即121x x =-=-时,等号成立.39、解:(1)设M (y 20,y 0),直线ME 的斜率为k(l>0) 则直线MF 的斜率为-k ,).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴xy y x k y y 2200)(由消0)1(002=-+-ky y y ky x 得2200)1(,1kky x k ky y F F -=∴-=解得 ).(2142)1()1(1102022022000定值y k ky k k ky k ky k ky k ky x x y y k F E F E EF-=-=+---+--=--=∴所以直线EF 的斜率为定值(2),1,45,90==∠=∠k MAB EMF 所以时当).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线).1,)1((,0202200y y E xy y x y y --⎪⎩⎪⎨⎧=-=-得由 同理可得)).1(,)1((020y y F +-+设重心G (x , y ),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--+=++=+=++-+=++=33)1()1(33323)1()1(3000020202020y y y y x x x x y y y y x x x x F E M F E M).32(2729120>-=x x y y 得消去参数40、(Ⅰ)证法一:由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -,,2(0)F c ,,不妨设点()A c y ,,其中0y >.由于点A 在椭圆上,有22221c y a b +=,即222221a b y a b-+=. 解得2b y a =,从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,.直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+,整理得2220b x acy b c -+=. 由题设,原点O 到直线1AF 的距离为113OF,即23c =将222c a b =-代入上式并化简得222a b =,即a =.证法二:同证法一,得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭,.过点O 作1OB AF ⊥,垂足为B ,易知1F BO △∽12F F A △,故211BO F AOF F A=. 由椭圆定义得122AF AF a +=,又113BO OF =,所以2212132F AF A F A a F A==-, 解得22aF A =,而22b F A a =,得22b a a =,即a =. (Ⅱ)解法一:设点D 的坐标为00()x y ,.当00y ≠时,由12OD Q Q ⊥知,直线12Q Q 的斜率为0x y -,所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+,或y kx m =+,其中00x k y =-,200x m y y =+.点111222()()Q x y Q x y ,,,的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩,.将①式代入②式,得2222()2x kx m b ++=, 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=,于是122412km x x k+=-+,21222212m b x x k -=+. 由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k ---=++=+++··.由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=.将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+, 22232(1)m b k =+.将200000x x k m y y y =-=+,代入上式,整理得2220023x y b +=.当00y =时,直线12Q Q 的方程为0x x =,111222()()Q x y Q x y ,,,的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩,.所以120x x x ==,12y =,. 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=,即22200202b x x --=, 解得22023x b =.这时,点D 的坐标仍满足2220023x y b +=. 综上,点D 的轨迹方程为 22223x y b +=. 解法二:设点D 的坐标为00()x y ,,直线OD 的方程为000y x x y -=,由12OD Q Q ⊥,垂足为D ,可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+.记2200m x y =+(显然0m ≠),点111222()()Q x y Q x y ,,,的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩, ①. ②由①式得00y y m x x =-. ③由②式得22222200022y x y y y b +=. ④将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=.整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=, 于是2220122200222m b y x x x y -=+. ⑤ 由①式得00x x m y y =-. ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=. ⑦将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=,整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=, 于是222012220022m b x y y x y -=+. ⑧ 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=.将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++, 22220032()0m b x y -+=.将2200m x y =+代入上式,得2220023x y b +=.所以,点D 的轨迹方程为22223x y b +=. 41、解:由条件知1(20)F -,,2(20)F ,,设11()A x y ,,22()B x y ,. 解法一:(I )设()M x y ,,则则1(2)FM x y =+,,111(2)F A x y =+,, 1221(2)(20)F B x y FO =+=,,,,由1111FM F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩,即12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩, 于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭,. 当AB 不与x 轴垂直时,121224822yy y y x x x x -==----,即1212()8y y y x x x -=--. 又因为A B ,两点在双曲线上,所以22112x y -=,22222x y -=,两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+,即1212()(4)()x x x y y y --=-. 将1212()8y y y x x x -=--代入上式,化简得22(6)4x y --=. 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ,,也满足上述方程.所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=.(II )假设在x 轴上存在定点(0)C m ,,使CA CB 为常数.当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±.代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=. 则12x x ,是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-,2122421k x x k +=-, 于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--. 因为CA CB 是与k 无关的常数,所以440m -=,即1m =,此时CA CB =1-.当AB 与x 轴垂直时,点A B ,的坐标可分别设为(2,(2,, 此时(12)(12)1CA CB =-=-,,. 故在x 轴上存在定点(10)C ,,使CA CB 为常数.解法二:(I )同解法一的(I )有12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩, 当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±.代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=. 则12x x ,是上述方程的两个实根,所以212241k x x k +=-. 21212244(4)411k k y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭. 由①②③得22441k x k -=-.…………………………………………………④ 241k y k =-.……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时,0y ≠,由④⑤得,4x k y -=,将其代入⑤有 2222444(4)(4)(4)1x y x y y x x y y -⨯-==----.整理得22(6)4x y --=. 当0k =时,点M 的坐标为(40),,满足上述方程. 当AB 与x 轴垂直时,122x x ==,求得(80)M ,,也满足上述方程. 故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=. (II )假设在x 轴上存在定点点(0)C m ,,使CA CB 为常数,当AB不与x轴垂直时,由(I)有212241kx xk+=-,2122421kx xk+=-.以上同解法一的(II).42、解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意,有。