五年高考真题分类汇编数列1.（19全国1 理）记为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ）A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- 2. （19全国1 理）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=___1213____． 3.（19全国1 文）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=____58___． 4.（19全国3文理）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 25.（19全国3 理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =____4____. 6.（19全国3 文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =__100___. 7.（19全国1 文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-． 因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故S n ≥a n 等价于0n 10n 11n 2≤+-，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围为[1,10].n S8.（19全国2 理）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.解：（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．9.（19全国2 文）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=.解得2q =-（舍去）或q =4.因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=.（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为1321n n +++-=.10.（18全国1理）记为等差数列的前项和.若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．11.（18全国1理）记为数列的前项和.若，则________．n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-1012n S {}n a n 21n n S a =+6S =63-12.（18全国1文）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．解：依题意，，，∴，，. （1）∵，∴，即，所以为等比数列. （2）∵，∴.13．（18全国2文理）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．解：（1）设的公差为，由题意得， 由得．所以的通项公式为．（2）由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．14.（18全国3文理）等比数列中，． （1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求． 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∴2534a q a ==，∴2q =±.∴12n n a -=或1(2)n n a -=-. （2）由（1）知，122112n nn S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+， ∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍），∴6m =.15.（17全国1理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．816.（17全国2理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏17.（17全国3理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）A ．24-B ．3-C ．3D ．818.（17全国2理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS =∑ 1n + 19.（17全国3理）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =__8-__．21224a a =⨯⨯=321(23)122a a =⨯⨯=1111a b ==2222a b ==3343a b ==12(1)n n na n a +=+121n na a n n+=+12n n b b +={}n b 1112n n n n a b b q n--===12n n a n -=⋅n S {}n a n 17a =-315S =-{}n a n S n S {}n a d 13315a d +=-17a =-2d ={}n a 29n a n =-228(4)16n S n n n =-=--∴4n =n S16-{}n a 15314a a a ==，{}n a n S {}n a n 63m S =m20.（17全国1文）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．解：（1）设{}n a 的公比为q ．由题设可得121(1)2,(1) 6.a q a q q +=⎧⎨++=-⎩解得2q =-，12a =-． 故{}n a 的通项公式为(2)nn a =-．（2）由（1）可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-． 由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列．21.（17全国2文）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .22.（17全国3文）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.23.（16全国1理）已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）9724.（16全国1理）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 64 ． 25.（16全国1文）已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，,.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和.（2）由（1）和11n n n n a b b nb +++= ,得13n n b b +=,因此{}n b 是首项为1,公比为13的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ,则111()313.122313n n n S --==-⨯-26.（16全国2文）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （1）求{n a }的通项公式；（2） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.试题解析：(1)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （2）由(1)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 当n =1,2,3时，2312,15n n b +≤<=；当n =4,5时，2323,25n n b +≤<=； 当n =6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n =9,10时，2345,45n n b +≤<=， 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.27.（16全国2理）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．解：（1）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======28.（16全国3文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=. （1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式. 解：（1）由题意得41,2132==a a . .........5分29.（16全国3理）已知数列{}n a 的前n 项和1n nS a λ=+，其中0λ≠．（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S =，求λ．由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以11-=+λλn n a a .因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1)1(11---=n n a λλλ．（2）由（1）得n n S )1(1--=λλ，由32315=S 得3231)1(15=--λλ，即=-5)1(λλ321， 解得1λ=-．30.(15全国1文)已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ） （A ）（B ） （C ） （D ） 31.(15全国2文)设是等差数列的前项和,若,则（ ）A ．B ．C ．D ．32.(15全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )A ．21B ．42C ．63D ．84 33.(15全国2文)已知等比数列满足,,则（ ）C.1234. (15全国1文)数列中为的前n 项和，若，则 6 .35.(15全国2理)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =___1n-___．36.(15全国1理) n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2243n n n a a S +=+.（1）求{n a }的通项公式： （2）设,求数列}的前n 项和解：（1）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2， 所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +；（2）由（1）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111[()()()]235572123n n -+-++-++ =11646n -+.{}n a n S {}n a n 844S S =10a =1721921012{}n a 112,2,n n n a a a S +=={}n a 126n S =n =。