……外…………○学……内…………○绝密★启用前高三上期数学第一次周练试卷考试时间：120分钟一、单选题1．（5分）已知集合A ={x|2x ≤4,x ∈N },B ={x|6x+1>1,x ∈Z}，则满足条件A ⊆C ⊆B 集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．（5分）已知p:“∀x ∈R,x 2+3≥3”，则¬p 是（ ） A ．∀x ∈R,x 2+3<3 B ．∃x ∈R,x 2+3≤3 C ．∃x ∈R,x 2+3<3 D ．∃x ∈R,x 2+3≥3 3．（5分）下列命题中正确命题的个数是（1）对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；（2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； （3）在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； （4）设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)；若P (ξ>1)=p ，则P (−1<ξ<0)=12−p （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．（5分）《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（ ） A ．18B ．20C ．21D ．255．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的一条棱长为（ ）A ．B ．C ．4D ．6．（5分）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=−1,an+1S n+1=S n ，则S 10=（ ）7．（5分）设a =∫sinxdx π0，则(a √x −x)6·(x 2+2)的展开式中常数项是 （ ） A ．332 B ．-332 C ．320 D ．-3208．（5分）设a =sin3900，函数f (x )={a x x <0log a x x ≥0，则f (110)+f (log 218)的值等于（ ）A ．9B ．10C ．11D ．129．（5分）现有一个不透明的口袋中装有标号为1，2，2，3的四个小球，他们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为（ ） A ．16 B ．56 C ．38 D ．5810．（5分）已知定义在区间[−π2,π]上的函数y =f (x )的图象关于直线x =π4对称，当x ≥π4时，f (x )=sinx ，如果关于x 的方程f (x )=a 有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为（ ） A ．34π B ．π2C ．πD ．2π11．（5分）已知直线l 与双曲线x 24−y 2=1相切于点P ，l 与双曲线两条渐进线交于M ，N 两点，则OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．与P 的位置有关12．（5分）设f n (x )=1+x +x 2+⋅⋅⋅+x n (x >0)，其中n ∈N,n ≥2，则函数G n (x )=f n (x )−2在(12,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．与n 有关二、填空题13．（5分）已知复数z =1−i ，则z 2−2z z−1=__________．14．（5分）过平面区域{x −y +2≥0y +2≥0x +y +2≤0 内一点P 作圆O:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A,B ，记∠APB =α，当α最大时，点P 坐标为__________．15．（5分）已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C （点B 在点A ，C 之间），若3BC =BF ，且9AB =，则p =______．16．（5分）已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， ()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的………○…………装学校:___________姓………○…………装三、解答题17．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量m ⃗⃗ =(sinx,cos (x +π4)),n ⃗ =(cosx,sin (x −π4))，设f (x )=m ⃗⃗ ·n ⃗ . （1）求f (x )的最小正周期；（2）在锐角三角形ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若f (C2)=0,c =1，求ΔABC 面积的最大值.18．（12分）某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足一小时的部分按一小时计算)．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为11,42，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为11,24，两人租车时间都不会超过三小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC =900,CD//AB,AB =2,AD =CD =1,M 为线段AB 的中点.将ΔADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D −ABC ，如图2所示.（1）求证：平面DBC ⊥平面ACD ； （2）求二面角B −CD −M 的余弦值.20．（12分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为12,F 1F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且ΔPF 1F 2的周长是6. （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆：T:(x −t )2+y 2=49，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E 、F 两点，当圆心在x 轴上移动且t ∈(0,1)时，求EF 的斜率的取值范围.…………○………………○……21．（12分）已知函数f (x )＝ln x －ax ，a ∈R.(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝1时，g (x )＝f (x )＋x ＋12x－m 有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 1＋x 2＞1. 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程：{x =1+tcosθy =tsinθ （θ为参数），曲线C 的参数方程：{x =√3cosαy =sinα （α为参数），且直线交曲线C 于A,B 两点.（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求θ=π3时，|AB |的长度；（2）已知点P (1,0)，求当直线倾斜角θ变化时，|PA |·|PB |的范围. 23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知实数a >0,b >0，且a 2+b 2=8，若a +b ≤m 恒成立. （1）求实数m 的最小值；（2）若2|x −1|+|x |≥a +b 对任意的a,b 恒成立，求实数x 的取值范围.参考答案1．A2．C 3．B 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．A 12．B13．2i. 14．(−1,−1). 15．416．32 2,3e e-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17．（1）T=π.（2）S≤2−√34.【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积公式，结合利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及诱导公式将函数f(x)化为sin2x−12，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；（2）由三角形面积公式可得S=14ab，利用余弦定理结合基本不等式求得ab≤2+√3，从而可得结果. 【详解】（1）f(x)=m⃗⃗ ·n⃗=sinx·cosx+sin(x−π4)cos(x+π4)=sinx·cosx+sin(x−π4)cos(x−π4+π2)=sinx·cosx−sin(x−π4)sin(x−π4)=sin2x2−1−cos(2x−π2)2=sin2x−12，故f(x)的最小正周期T=π；（2）f(C2)=sinC−12=0又三角形为锐角三角形，故C=π6,S=12absinπ6=14ab，c2=1=a2+b2−2abcosπ6≥2ab−√3ab=(2−√3)ab，∴ab≤2+√3，∴S=12absinπ6=14ab≤2−√34.【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18．（1）516；（2）见解析【解析】【分析】（1）两人所付租车费用相同的情况有2,4,6三种，分别算出对应概率，相加得到答案. （2）X 的可能取值为4,6,8,10,12，分别计算概率，写出分布列计算数学期望. 【详解】解：（1）甲、乙两人所付租车费用相同即为2,4,6元．都付2元的概率为1111428P =⨯=， 都付4元的概率为2111248P =⨯=；都付6元的概率为31114416P =⨯=， 故所付费用相同的概率为123P P P P ++==1115881616++= （2）依题意知，X 的可能取值为4,6,8,10,12()1114,428P X ==⨯=()111156442216P X ==⨯+⨯=，()1111115844242416P X ==⨯+⨯+⨯=；()1111310442416P X ==⨯+⨯=；()111124416P X ==⨯=，故X 的分布列为所求数学期望()1553468108161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯11512162+⨯= 【点睛】本题考查了概率的计算，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力. 19．（1）见解析. （2）−√33. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可证明AC ⊥BC ，利用面面垂直的性质可得OD ⊥平面ABC ，从而得OD ⊥BC ，由线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面ACD ，进而利用面面垂直的判定定理可得结果；（2）作OM ⊥AC ,以OA,OM,OD 为x 、y 、z 轴建立坐标系，分别利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面CDM 与平面ACD 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）在图1中，可得AC =BC =√2，从而AC 2+BC 2=AB 2，故AC ⊥BC ， 取AC 中点O 连结DO ,则DO ⊥AC ，又面ADE ⊥面ABC ，面ADE ∩面ABC =AC,DO ⊂面ACD ，从而OD ⊥平面ABC ，∴OD ⊥BC ， 又AC ⊥BC,AC ∩OD =O ，∴BC ⊥平面ACD ，故平面DBC ⊥平面ACD ； （2）建立空间直角坐标系O −xyz 如图所示，则M (0,√22,0),C (−√22,0,0),D (0,0,√22)， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,√22,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,0,√22)， 设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z )为面CDM 的法向量，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 即{√2x +√2y =0√2x +√2z =0 ，解得{y =−x z =−x ， 令x =−1，可得n 1⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)， 又n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)为面ACD 的一个法向量，∴cos ⟨n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3=√33，∴二面角B −CD −M 的余弦值为−√33. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20．（1）x 24+y 23=1.（2）(0,54√377). 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率得到a,c 的关系，再由ΔPF 1F 2的周长是6，得a,c 的另一关系，联立求得a,c 的值，代入a 2=b 2+c 2求得b ，则椭圆方程可求；（2）椭圆的上顶点为M(0,√3)，设过点M 与圆T 相切的直线方程为y =kx +√3，由圆心到切线距离等于半径得到关于切线斜率的方程，由根与系数关系得到k 1+k 2=18√3t 9t 2−4，k 1k 2=239t 2−4，再联立切线方程和椭圆方程，求得E 的坐标，同理求得F 坐标，利用斜率公式得到k EF =3(k 1+k 2)3−4k 1k 2=54√3t104−27t 2，然后由函数单调性求得EF 的斜率的范围. 【详解】（1）由e =12，可知a =2c ，因为ΔPF 1F 2的周长是6，所以2a +2c =6， 所以a =2,c =1，所求椭圆方程为x 24+y 23=1；（2）椭圆的上顶点为M(0,√3)，设过点M 与圆T 相切的直线方程为y =kx +√3， 由直线y =kx +1与T 相切可知√3|√k 2+1=23,(9t 2−4)k 2+18√3tk +23=0，∴k 1+k 2=−18√3t9t 2−4,k 1k 2=239t 2−4，由{y =k 1x +√3x 24+y 23=1 得(3+4k 12)x 2+8√3k 1x =0，∴x E =−8√3k 13+4k 12，同理x F =−8√3k23+4k 22，k EF =y E −y F x E −x F=(k 1x E +√3)−(k 2x F +√3)x E −x F=k 1x E −k 2x F x E −x F，3(k 1+k 2)3−4k 1k 2=54√3t 104−27t 2，当0<t <1时，f (t )=54√3t104−27t 2为增函数，故EF 的斜率的范围为(0,54√377). 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于a,b,c 的方程组，解出a,b,，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单 21．（1）a ≥1；（2）详见解析. 【解析】 【分析】(1)由题得当x ＞1时a ≥1x 恒成立，即得实数a 的取值范围；（2）先求出121121,2ln x x x x x -=2121212ln x x x x x -=.令12x t x =，其中0＜t ＜1，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=.构造函数h (t )＝t －1t －2ln t (0＜t ＜1)，证明t －1t－2ln t ＜0得证. 【详解】(1)解：因为f (x )＝ln x －ax ，则f ′(x )＝1x －a ＝1axx-， 若函数f (x )＝ln x －ax 在(1，＋∞)上单调递减， 则1－ax ≤0在(1，＋∞)上恒成立， 即当x ＞1时a ≥1x恒成立， 所以a ≥1.(2)证明：根据题意，g (x )＝ln x ＋12x－m (x ＞0)，因为x 1，x 2是函数g (x )＝ln x ＋12x－m 的两个零点， 所以121211ln 0,ln 022x m x m x x +-=+-=. 两式相减，可得122111ln 22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=，故1212122ln x xx x x x -=. 那么122112112211,2ln 2lnx x x x x x x x x x --==. 令12x t x =，其中0＜t ＜1，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 记h (t )＝t －1t －2ln t (0＜t ＜1)，则22(1)()t h t t-'=. 因为0＜t ＜1，所以h ′(t )＞0恒成立，故h (t )＜h (1)，即t －1t－2ln t ＜0.可知112ln t t t->，故x 1＋x 2＞1.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平分析推理能力，属于中档题. 22．（1）|AB |=3. （2）[13,1]. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的平方关系式，将曲线C 的参数方程化为普通方程，，直线l 的参数方程：{x =1+12t y =√32t （t 为参数），代入x 23+y 2=1，得t 2+t −2=0，利用韦达定理结合直线参数方程的几何意义，即可求出|AB |的长度；（2）直线l 参数方程代入得(cos 2θ+3sin 2θ)t 2+2cosθt−2=0，则|PA|·|PB|=−t1t2=2cos2θ+3sin2θ=11+2sin2θ，利用三角函数的有界性可得结果. 【详解】（1）曲线C的普通方程为x 23+y2=1；当θ=π3时，直线l的参数方程：{x=1+12ty=√32t（t为参数），将l的参数方程代入x23+y2=1，得t2+t−2=0，解得t1=−2,t2=1，所以|AB|=|t1−t2|=3.（2）直线l参数方程代入得(cos2θ+3sin2θ)t2+2cosθt−2=0，|PA|·|PB|=−t1t2=2cos2θ+3sin2θ=11+2sin2θ，0≤sin2θ≤1,13≤|PA|·|PB|≤1，所以|PA|·|PB|的范围是[13,1].【点睛】本题主要考查，直线参数方程的应用，以及参数方程化普通方程的方法，属于中档题.消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.23．（1）m≥4.（2）{x|x≤−23或x≥2}.【解析】【分析】（1）结合a2+b2=8，利用综合法证明(a+b)≤4，从而可得m≥4；（2）由2|x−1|+|x|≥a+b恒成立，结合（1）可得，只需2|x−1|+|x|≥4，对x分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果.【详解】（1）∵a2+b2≥2ab，∴2a2+2b2≥(a+b)2，∴(a+b)2≤16，∴(a+b)≤4故m≥4；（2）由2|x−1|+|x|≥a+b恒成立，故只需2|x−1|+|x|≥4，；当0≤x≤1时，不合题意，当x≥1时，可得x≥2；当x≤0时，可得x≤−23或x≥2}.综上可得实数x的取值范围是{x|x≤−23。