俯视图侧(左)视图成都七中2014级考试数学试卷(文科)命题人：刘在廷 审题人：周莉莉一、选择题(每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.) 1． 已知集合{}3,5,6,8A =，{4,5,7,8}B =，则AB 的元素个数为（ ）（A ）6 （B ） 2 （C ） 22 （D ） 622. 已知命题00:,2,p x R x ∃∈> 命题32:,q x R x x ∀∈>，则（ ） （A ） 命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题p q ⌝∨是假命题 （D ） 命题p q ⌝∧是真命题3. 已知i 为虚数单位，则复数()a i a R +∈与()b i b R +∈的积是实数的充要条件是（ ） （A ）1ab = （B ）10ab += （C ）0a b += （D ）a b = 4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）（A ） 2A Î，且4A Î （B ）A ，且4A Î（C ） 2A Î，且A（D A A5. 国色天香的观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径为30m ，AM =2BP =m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为()h t m ，则()h t =（ ）(A).ππ30sin(30122t -+ (B).ππ30sin()3062t -+ (C).ππ30sin(3262t -+ (D).ππ30sin()62t -6．已知抛物线22(0)y px p =>与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,A B 两点，点F 为抛物线与椭圆的公共焦点，且,,AB F 共线则该椭圆的离心率为（ ）（A）1 （B ）1) （C）12（D ）27. 设,m n 为空间的两条不同的直线，,αβ为空间的两个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若,m m αβ⊥⊥，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若,m n αα⊥⊥，则m ∥n ．上述命题中，所有真命题的序号是（ ）（A ） ①② （B ）③④ （C ） ①③ （D ） ②④8. 函数22cos 2()21x xxf x =-的图象大致为 ( )（A ） （B ）（C ） （D ）9．已知,,A B C 是平面上不共线的三点，点O 在ABC ∆内，且350OA OB OC ++=.若向ABC ∆内（含边界）投一颗麦粒，则麦粒落在AOB ∆内（含边界）的概率为（ ）（A ）79 （B ）19 （C ）13 （D ）5910.若对任意一个三角形，其三边长为,,()a b c a b c ≥≥，且,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，若(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“保三角形函数”。

若()s i n ,(0,h x x x M =∈是保三角形函数。

则M 的最大值为（ ） （A ）2π （B ）34π （C ）56π （D ）π二、填空题(每小题5分,共25分.把答案填在题答题卡上.)11. 执行右图程序，当输入68时， 输出的结果是_________. 12．为了解高2014届学生的身体发育情况，抽查了 该年级100名年龄为17．5岁—18岁的男生体重（kg ）， 得到频率分布直方图如右图：根据上图可得这100名学生中体重在［56．5，64．5］的学生人数是___________人 13. 在∆ABC 中,已知8,5AB AC ==，∆ABC 的面积是12，则c o s (22)B C +的值为________.14．已知椭圆22213x y a +=(a >，左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于 ,A B 两点，若22BF AF +的最大值是5， 则a 的值是_______． 15．关于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，以下说法正确的有_________。

①()f x 可能无零点②()f x 一定是中心对称图形，且对称中心一定在()f x 的图象上 ③()f x 至多有2个极值点④当()f x 有两个不同的极值点12,x x ，且1212|()()|1||f x f x x x -<-，11()f x x =，则方程23[()]2()0a f x bf x c ++=的不同实根个数为：3个或4个. 三、解答题(本大题共6小题.共75分.1619-题每题12分,20题13分,21题14分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16．已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，点(,)n n S 在抛物线数列{}n b 满足ABC P H（Ⅱ）记n n n C a b =,求数列{}n C 的前n 项和n T ．17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且222823ABC b c a S ∆+-=（其中ABCS ∆为△ABC 的面积）．（Ⅰ）求2sin cos 22B CA ++；（Ⅱ）若2b =，△ABC 的面积为3，求a ．18．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为1x ，2x ，3x ，等级系数为5的2件日用品记为1y ，2y ，现从1x ，2x ，3x ，1y ，2y 这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．19. 如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点， 2PA AC ==，1BC =.（Ⅰ）求证：⊥AH 平面PBC ； （Ⅱ）求经过点PABC 的球的表面积。

X1 2 3 4 5频率a0．20．45bc20.已知抛物线28(8)x y =+与y 轴交点为M ，动点,P Q 在抛物线上滑动，且0MP MQ ⋅= （1）求PQ 中点R 的轨迹方程W ； （2）点,,,ABCD 在W 上，,A D 关于y 轴对称，过点D 作切线l ，且BC 与l 平行，点D 到,AB AC的距离为12,d d ，且12|d d AD +，证明：ABC ∆为直角三角形21. 设函数2ln ()xf x x =. （1）求()f x 的极大值； （2）求证：2*12ln[(1)(2)21]()(21)()e n n n n n n n N ⋅-⋅-⋅≤++∈（3）当方程()0()2a f x a R e +-=∈有唯一解时，方程222()()0ax tx t g x txf x x--'=+=也有唯一解，求正实数t 的值；成都七中2014级考试数学试卷(文科)（参考答案）一、选择题(每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.) 1—5：ADCDB 6—10：ADDDC二、填空题(每小题5分,共25分.把答案填在题答题卡上.) 11、20 12、40 13、72514、2 15、②③三、解答题(本大题共6小题.共75分.1619-题每题12分,20题13分,21题14分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、解：（Ⅰ）23122n S n n =+Q 当1n =时，2a S ==∴数列n a 是首项为2，公差为3的等差数列，31n a n ∴=- 又各项都为正数的等比数列{}n b 满足13511,432b b b == 解得1,22b q ==，()2nn b ∴= ……………………5分(Ⅱ)由题得1(31)()nn c n =-①② ①-②得2311111113()()()(31)()2n n n T n +⎡⎤=++++--⎢⎥L 52n n T ∴=- ………………………………………………12分17、解析：（Ⅰ）由已知得A bc A bc sin 21382cos 2⨯=即0sin 4cos 3>=A A 53sin =∴A 54cos =A212c o s c o s 22c o s 2c o s 12c o s 2s i n 22-+=++=++A A A A A C B50592152425162=-⨯+⨯=………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知53sin =A 2,3s i n 21===∆b A bc S ABC ,A b c a c cos 265222++==∴ 又13545222542=⨯⨯⨯-+=∴a13=∴a ……………………………………12分18、.解：（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 ……………1分因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b=320=0.15………3分 等级系数为5的恰有2件，所以c=220=0.1 ……………4分 从而a=0.35-b-c=0.1所以a=0.1 b=0.15 c=0.1 ……………6分（2）从日用品1X ,2X ,3X ,1Y ,2Y 中任取两件，所有可能结果(1X ,2X ),(1X ,3X ),(1X ,1Y ),(1X ,2Y ),（2X ,3X ）,( 2X ,1Y ),(2X ,2Y ),(3X ,1Y ), (3X ,2Y ),(1Y ,2Y )共10种， …9分设事件A 表示“从日用品1X ,2X ,3X ,1Y ,2Y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为(1X ,2X ),(1X ,3X ),(1X ,2X ),(1Y ,2Y )共4个，………11分故所求的概率P(A)=410=0.4 ……………12分 19、（Ⅰ）证明：因为 PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以 PA BC ⊥，又因为 AC BC ⊥， PA AC A =， 所以 ⊥BC 平面PAC ，又因为 ⊂AH 平面PAC ， 所以 BC AH ⊥.因为 ，AC PA =H 是PC 中点， 所以 AH PC ⊥， 又因为 PC BC C =，所以 ⊥AH 平面PBC . …………………………6分（Ⅱ）9S π=……………………12分 20、解：（1）显然直线MP 的斜率存在且不为0，设为k ，设PQ 的中点R (,)x y∴直线:8MP y kx =-与28(8)x y =+联立解得：2(8,88)P k k -同理：288(,8)Q k k -- PQ ∴的中点2244(4,48)R k k k k-+-2244,448x k k y k k ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=+-⎪⎩∴轨迹方程：24x y =…………………………6分 （2）由24x y =得：2xy '=，设222012012(,),(,),(,)444x x x D x C x B x 则200(,)4x A x -∴12011(),42BC k x x x =+= ∴1202x x x += ∴201011(2,(2))4B x x x x -- ∴101()4AC k x x =-又011()4AB k x x =- 则AC AB k k =- 则DAC DAB ∠=∠ ∴12d d =又12|d d AD + 则045DAC DAB ∠=∠=∴ABC ∆为直角三角形……………………13分21、解：（1）432ln 12ln ().x x x xf x--'==由()0f x '=得x =从而()f x 在单调递增,在)+∞单调递减.1().2f x f e==极大……………………………………………………4分 （2）证明：1().2f x f e ==极大 1()2f x e ∴≤ 2l n 12x x e∴≤21ln 2x x e∴≤22l n e x x ∴≤ 分别令1,2,3,,x n = 22l n 11e ∴≤，22l n 22e ≤， 22l n e n n ≤22222(ln1ln 2ln3ln )123e n n ∴++++≤++++(1)(21)2ln[(1)(2)21]6n n n e n n n ++∴⋅-⋅-⋅≤2*12ln[(1)(2)21]()(21)()e n n n n n n n N ∴⋅-⋅-⋅≤++∈…………………………9分（3）由（1）的结论：方程()0()2af x a R e+-=∈有唯一解 1a ∴= 方程222()()0ax tx tg x txf x x--'=+=有唯一解 即：22ln 20(0)x t x tx x --=>有唯一解 设()G x =22ln 20(0)x t x tx x --=> 22()()G x x tx t x'∴=--由()0G x '∴=则20x tx t --= 设20x tx t --=的两根为12,x x ，不妨设12x x < 0t > 120x x ∴<< 1222t t x x ∴==()G x ∴在2(0,)x 递减，2(,)x +∞递增要使()G x =22ln 20(0)x t x tx x --=>有唯一解，则2()0G x = 即：22222ln 20x t x tx --= ①又2220x tx t --=② 由①②得：222ln 0t x tx t +-= 即：222ln 10x x +-=21x ∴= ，又2x 是方程20x tx t --=的根21x ∴==12t ∴=………………………………………………14分。