数学建模第一次综合练习班级：数学123班成员：蒋滢蓥（12170310）汤丽娅（12170321）吴瑞（12170322）2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型。

设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k>r 。

在每个生产周期T 内，开始的一段时间（0<t<0T ），一边生产一边销售，后来的一段时间（T t T <<0）只销售不生产，画出贮存量q （t ）的图形。

设每次生产准备费为1C ，单位时间每件产品贮存费为2C ，以总费用最小为目标确定最优生产周期。

讨论k>>r 和k ≈r 的情况。

解：1.模型假设：① 每天生产速率为常数k ，销售速率为常数r ；② 每次生产准备费为1C ，单位时间每件产品贮存费为2C ； ③ 当贮存量降到0时，立即又重新开始生产，即不允许缺货。

2.模型建立：将贮存量表示为时间t 的函数q （t ），开始时贮存量以单位时间（k-r ）的速率增加，后一段时间以单位时间r 的速率减少直至0，即q （T ）=0 。

如图： 总量 q(t)r*T 生产 销售(k-r)*T0k-r r时间t 时间t T0 T T0 T 图1 图2其中图1为生产销售模型，T r To k **=图2为贮存量模型q(t), 且⎩⎨⎧≤<-+--≤<-=T t To r k To To t r To t t r k t q ),(*)(*0,*)()( 而总费用=生产准备费+贮存费，即⎰⎰+=++=To TToc To T c c dt t q c dt t q c c c 02/2***21)(*2)(*21)(总平均费用kr k T r c T c T r k T To c c 2)(***212/)(***21)(c -+=-+=均 3.模型求解：k r k r c T c c 2)(**22^1)'(-+-=均令c(均)’=0，则T=)(**21*21*2)(**21r k r c c k c k r k r c -=- ①当k>>r 时，rc c k r c c k T *212**21*2==，此时模型相当于不考虑生产的情况。

②当k ≈r 时，∞→T ，此时模型相当于一边生产一边销售，且无法贮存产品，储存量q(t)=0。

4.模型分析：从公式T=)(**21*21*2)(**21r k r c c k c k r k r c -=-中可以看出：①当c1增加时，周期T 也随之变长，而当c2增加时，周期T 反而变短。

这反映出一次性的生产费增加时，能够维持更多的生产，因此整一个周期变长；而c2贮存费增加时，贮存费用变大，从经济角度考虑，因此生产出来的产品要快速销售处理掉，因此周期变短。

②当生产速率常数k 增加，销售速率r 减少时，周期T 变长，而当常数k 减小，r 增加时，周期T 变短。

这反映出生产速率增加，销售速率减小时，会生产出更多的产品，需要更多的时间去销售完生产出来的产品，因此周期变长；而生产速率减小，销售速率增大时，生产出的产品能在短时间内被销售完全，因此周期变短。

以上内容均符合客观事实情况，符合常识。

7、要在雨中的一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且保持方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越少。

将人简化为一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=，厚m c 2.0=，设跑步距离1000，跑步最大速度m v =5m/s ，雨速s m u /4=，降雨量h cm /2=ω，记跑步速度为v 。

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1,建立总淋雨量与速度v 及参数,,,,,u d c b a θω,之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算︒=︒=30,0θθ时的总淋雨量。

（3）雨与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v 及参数,,,,,u d c b a θω,之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少，计算︒=︒=30,0θθ时的总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么样的变化。

图1 图2解：1.问题的分析总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。

每个面上的淋雨量等于单位面积， 单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。

面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。

再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。

当雨线方向和跑步方向不在同一平面时，我们设出雨线方向角，按照上述方法将其分解，同样可以解决问题。

2.模型的假设（1）把人体视为长方体，人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。

ν大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

（2）问题1中不考虑雨下落的方向，假设为自由落体。

人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

（3）问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。

在此过程中左右两侧因与雨速平行而不沾雨。

（4）假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变（5）假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

（6）设总淋雨量为Q3.模型的建立与求解问题一：全身面积)(2ac bc ab s ++=跑完全程的时间s v d t m 200/==降雨量s m h cm /1810/24-==ω淋雨量Q = tsw ≈2.44升问题二：雨从迎面吹来，因为雨线与跑步方向在同一平面内，左右两面与雨的方向平行，所以雨只淋在头顶和前面。

总淋雨量21Q Q Q +=, 1Q 为头顶淋雨量，2Q 为前面淋雨量。

先计算1Q ：头顶面积bc s =1 淋雨时间v d t =雨速在竖直方向的分量θcos 1u u =降雨量ωϖu u 11=111ϖt s Q ==θωcos v bcd再计算2Q前面面积ab s =2v dt =雨速在水平方向的分量θsin 2u u =雨相对人的速度v u +=2μ 降雨量ωμϖu =222ϖts Q ==()uv v u abd +θωsin∴总淋雨量=+=21Q Q Q θωcos v bcd +()uv v u abd +θωsin容易看出总淋雨量Q 关于v 单调递减，所以当s m v v m /5==时，Q 取到最小值，即淋雨量最少，当,0︒=θQ =1.15升，当,30︒=θQ =1.55升。

问题三：雨从背面吹来，因为雨线与跑步方向在同一平面内，左右两面与雨的方向平行，所以雨只淋在头顶和前面或前面。

正面：当v u <αsin 时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面。

先计算1Q头顶面积bc s =1 淋雨时间v d t =雨速在竖直方向的分量αcos 1u u = 降雨量ωϖu u 11=111ϖt s Q ==αωcos v bcd再计算2Q前面面积ab s =2v dt =雨速在水平方向的分量αsin 2u u =雨相对人的速度2u v -=μ 降雨量ωμϖu =2222ϖts Q ==()uv u v abd αωsin -∴总淋雨量=+=21Q Q Q αωcos v bcd +()uv u v abd αωsin - v u <αsin反面：当v u ≥αsin 时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的后面，故总淋雨量等于头顶淋雨量加上背部淋雨量。

1Q 与前面的一样，1Q =αωcos v bcd再计算2Q前面面积ab s =2v dt =雨速在水平方向的分量αsin 2u u =雨相对人的速度v u -=2μ 降雨量ωμϖu =2222ϖts Q ==()uv v u abd -αωsin∴总淋雨量=+=21Q Q Q αωcos v bcd +()uv v u abd -αωsin αsin u v ≤综上=Q分析：当0sin cos <-ααa c 时，即：a c>αtan ，则αsin u v =时，淋雨量Q 最少；否则，当s m v v m /5==时，淋雨量Q 最少。

（如下图）当α= ︒30时，5.12.0tan >α，所以当αsin u v ==2m/s 时，Q ≈0.24升最少。

问题四：图形如上。

实际意义是：当雨从背后吹来时，要看雨吹的方向，如果雨线方向与人跑步方向在同一平面上，且与人体的夹角α的正切大于人的厚度与高度之比，跑步速度以雨速与α的正弦之积最好，淋雨量最少；否则就以最大速度跑步，这样淋雨量才最少。

问题五如下图，为人体模型的俯视图。

需要分三部分计算，在前后面上，雨垂直方向分速度为βcos u ，相对速度为βθcos sin u v -，乘上垂直受雨的面积ab 以及时间v d，即为前后侧受雨量2Q 。

因为垂直于左右面人的分速度为0，左右两面上相对速度为βθcos sin u 乘上面积ac 以及时间v d，即为左右受雨量3Q 。

而头顶受雨与雨速和人速夹角大小无关，因此1Q 仍按（2）、（3）问的算法做。

由321Q Q Q Q ++=可得雨量求法公式。

应用问题三的结论：θcos 1v bcdw Q =前后侧，当βθcos sin u v ≤时，相对速度βθcos sin u v -，vu u v abd Q )cos sin (2βθω-=可总结为vu u v abd Q βθωcos sin 2-= 同理可得左右两侧淋雨量vu u acd Q βθωcos sin 3=总淋雨量Q =1Q +2Q +3Q =θcos v bcdw +vu u v abd βθωcos sin -+vu u acd βθωcos sin4.模型的评价(1)模型优点通过模型的建立，相对客观的对人在雨中奔跑的各个情况进行了分析，可知人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关，还与雨线与人跑步方向的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关。

对人在雨中奔跑于淋雨量的关系有了一定的了解(2)模型缺点本文忽略了一些客观存在但不易计算或影响较小的因素，如降雨密度不均匀、风向不稳定、人体与长方体的差距等次要因素，在实际问题中的限制性因素远远超过这些，但一些因素对研究问题的影响较小，因此此文的分析方法仍存在一定的局限性，有待改进和提高。