一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,ac b ⎡⎫-+∞⎢，当0a <时的值1. 例1、 例2、 故函数的值域是：[ -∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 例 A 例解：21x x ++222x x x x -=++当2y -=当20y -≠时，x R ∈时，方程根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域。

解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1）x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x≤2。

由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1，3]。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

4例y 5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

适用类型：一般用于三角函数型，即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等。

例8、求函数y = 11+-x x e e 的值域。

解：由原函数式可得：xe =11-+y y xe ＞0，∴11-+y y ＞0 解得：- 1＜y ＜1。

故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例即∵ 6 例例 解：令y 1=25-x ，2y =log31-x ，则 y 1， 2y 在[ 2， 10 ]上都是增函数。

所以y=y 1+2y 在[ 2 ，10 ]上是增函数。

当x = 2 时，y m in = 32-+log312-=81，当x = 10 时，m ax y =52+log39=33。

故所求函数的值域为：[81，33]。

例12、求函数y=1+x -1-x 的值域。

解：原函数可化为：y=112-++x x2 7 例 例 解：因1-2)1(+x ≥0 ，即2)1(+x ≤1 故可令x+1=cosβ，β∈[ 0 ，∏] 。

∴y=cosβ+1+B 2cos 1-=sinβ+cosβ+1 =2sin （β+∏/ 4 ）+1 ∵0≤β≤∏，0 ≤β+∏/4≤5∏/4∴-22≤sin （β+∏/4）≤1 ∴0 ≤2sin （β+∏/4）+1≤1+2。

故所求函数的值域为[0，1+2]。

例15、求函数y=12243++-x x xx 的值域例 ∴当t=2时，m ax y =23+2，当t=22时，y=43+22故所求函数的值域为[43+22 ，23+2] 。

例17、求函数y=x+4+25x -的值域 解：由5-x≥0 ，可得∣x ∣≤5 故可令x =5cosβ，β∈[0，∏]y=5cosβ+4+5sinβ=10sin （β+∏/4）+ 4 ∵ 0 ≤β≤∏，∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时，m ax y =4+10，当β=∏时，y m in =4-5。

故所求函数的值域为：[4-5，4+10]。

8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 例18、求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2 ），B （- 8 ）间的距离之和。

由上图可知：当点P 在线段AB 上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例19、求函数y=1362+-x x+542++x x的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y m in =∣AB ∣=)12()23(22+++=43，故所求函数的值域为[43，+∞）。

例20、求函数y=1362+-x x-542++x x的值域解：将函数变形为：y=)20()3(22--+x -)10()2(22-++x上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0 ）的距离与定点B （-2，1）到点P （x ，0）的距离之差。

即：y=∣AP ∣-∣BP ∣由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P1，则构成△ABP1，根据三角形两边之差小于第三边， 有∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB ∣=)12()23(22-++=26即：-26＜y ＜26（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣=26。

综上所述，可知函数的值域为：（-26，-26]。

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A ，B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A ，B 在x 轴的同侧。

如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3 ，2 ），（- 2 ，- 1 ），在x 轴的同侧； 例18的A ，B 两点坐标分别为：（3 ，2 ），（2 ，- 1 ），在x 轴的同侧。

例21、求函数xxy cos 2sin 3--=的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212x x y y k --=,将原函数视为定点(2,3)到动点)sin ,(cos x x 的斜率,又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:]3326,3326[+-∈y 9例 例≤8（x sin2+x sin 2+2-x sin 2）=8[（x sin2+x sin 2+2-x sin 2）/3]3=2764当且当x sin2=2-2x sin 2，即当x sin 2=时，等号成立。

xB由y2≤2764，可得：-938≤y≤938 故原函数的值域为：[-938，938）。

例24、当0>x 时，求函数248)(xx x f +=的最值，并指出)(x f 取最值时x 的值。

分析与解：因为2244448)(x x x x f ++=+=可利用不等式33abc c b a ≥++即：f 例x a 10在(要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。

导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。

例26、求函数()32362f x x x x =-+-,[]1,1x ∈-的最大值和最小值。

解:()2'366f x x x =-+,令()'0f x =,方程无解.()2'366f x x x =-+()23130x =-+>∴函数()f x 在[]1,1x ∈-上是增函数.故当1x =-时,()()min 112f x f =-=-，当1x =时,()()max 12f x f == 例27、求函数221)(2++=x x x f 的最值. 解析:函数)(x f 是定义在一个开区间()∞+∞-，上的可导函数,令0)22(22)('2=+++-=x x x x ff 11、多种方法综合运用 例28、求函数y=32++x x 的值域 解：令t=2+x （t≥0），则x+3=2t +1（1）当t ＞0时，y=12+t t=t t /11+≤21，当且仅当t=1，即x=-1时取等号 所以0＜y≤21。

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：[0，21]。

注：先换元，后用不等式法。

例x 43221++-+=-学生巩固练习1函数y =x 2+x1(x ≤－21)的值域是()A(－∞,－47] B ［－47,+∞) C ［2233,+∞) D(－∞,－3223］2函数y =x +x 21-的值域是() A(－∞,1]B(－∞,－1] C RD ［1,+∞)3一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(20V )2千米，那么这批物资全部运到B 市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)4设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根，当m =_________时，x 12+x 22有最小值_________5某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )=5x －21x 2(万元)(0≤x ≤5),其中x 是产品售出的数量(单位百台)(1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？ 6已知函数f (x )=lg ［(a 2－1)x 2+(a +1)x +1］(1)若f (x )的定义域为(－∞,+∞)，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为(－∞,+∞),求实数a 的取值范围7某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称 空调器彩电冰箱工时产值(千元)432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)8在Rt △ABC 中，∠C =90°，以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S 1，△ABC 的内切圆面积为S 2，记ABCABC =x (1)求函数f (x )=21S S 的解析式并求f (x )的定义域 (2)求函数f (x )的最小值 参考答案1解析∵m 1=x 2在(－∞,－21）上是减函数，m 2=x 1在(－∞,－21）上是减函数，∴y =x 2+x1在x ∈(－∞,－21)上为减函数, ∴y =x 2+x1(x ≤－21)的值域为［－47，+∞)答案B2解析令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -∵y =212t -+t =－21(t －1)2+1≤1∴值域为(－∞,1] 答案A 3解析t =V 400+16×(20V )2/V =V 400+40016V≥216=8 答案84解析由韦达定理知x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m , ∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2－2x 1x 2=m 2－22+m =(m －41)2－1617,又x 1,x 2为实根，∴Δ≥0∴m ≤－1或m ≥2，y =(m －41)2－1617在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞)上是增函数，又抛物线y 开口向上且以m =41为对称轴故m =1时，y min =21答案－1215解(1）利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x )之差，由题意，当x ≤5时，产品能全部售出，当x >5时，只能销售500台，所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x (2）在0≤x ≤5时，y =－21x 2+475x －05,当x =－ab2=475(百台）时，y max =1078125(万元），当x >5(百台）时，y ＜12－025×5=1075(万元），所以当生产475台时，利润最大(3）要使企业不亏本，即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或解得5≥x ≥475－5625.21≈01(百台）或5＜x ＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本6解(1）依题意(a 2－1）x 2+(a +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(01222a a a a a a a 或或即， ∴a ＜－1或a >35又a =－1时，f (x )=0满足题意，a =1时不合题意 故a ≤－1或a >为35所求 (2）依题意只要t =(a 2－1)x 2+(a +1)x +1能取到(0，+∞）上的任何值，则f (x )的值域为R ，故有⎩⎨⎧≥∆>-0012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时，t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意，∴1≤a ≤35为所求 7解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，由题意得 x +y +z =360①120413121=++z y x②x >0,y >0,z ≥60③假定每周总产值为S 千元，则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下，为求目标函数S 的最大值，由①②消去z ,得y =360－3x④将④代入①得x +(360－3x )+z =360,∴z =2x ⑤ ∵z ≥60,∴x ≥30⑥再将④⑤代入S 中，得S =4x +3(360－3x )+2·2x ,即S =－x +1080 由条件⑥及上式知，当x =30时，产值S 最大，最大值为 S =－30+1080=1050(千元）得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元8解(1）如图所示设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =cab, ∴S 1=πah +πbh =,2(),(22c b a S b a cab-+=+ππ, ∴f (x )=221)()(4c b a c b a ab S S -++=①又⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)1(222222x c ab cxb ac b a x c b a 代入①消c ，得f (x )=1)(22-+x x x在Rt △ABC 中，有a =c sin A ,b =c cos A (0＜A ＜2π),则 x =c b a +=sin A +cos A =2sin(A +4π)∴1＜x ≤2 (2)f (x )=]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈(0,2－1),y =2(t +t2)+6在(0，2－1]上是减函数，∴当x =(2－1)+1=2时，f (x )的最小值为62+8abCBcA。