对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果a xN ( a 0, a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 的对数，． ．． N记作： x log a N （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式）说明： ○ 注意底数的限制 a 0 ，且 a 1 1 ； ○2a x Nlog a N x ；○3 注意对数的书写格式．两个重要对数：○常用对数：以 10 为底的对数 lg N ； 1○2 自然对数：以无理数 e 2.71828 为底的对数的对数 ln N ．（二）对数的运算性质如果 a 0 ，且 a1 ， M 0 ， N 0 ，那么：○1 log a (M · N ) log a M ＋ log a N ； ○2 log a Mlog a M － log a N ； N○3 log a M n n log a M (n R)．注意：换底公式log a b log c b 0 ，且a 1； c 0 ，且c 1； b 0 ）． log c （a a 利用换底公式推导下面的结论（1） log am b nnlog a b ；（ 2） log ab 1 ．m log b a（二）对数函数1、对数函数的概念：函数y log a x(a 0 ，且 a 1) 叫做对数函 数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0， +∞）．注意： ○对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意 1辨别。

如：y 2 log 2 x ，y log5x都不是对数函数，而只能称5 其为对数型函数．○ 对数函数对底数的限制： ( a 0 ，且 a 1) ．2 2、对数函数的性质：a>10<a<1 332 . 5 2 . 5 221 . 5 1 . 51 1 1 10 . 5 0 . 5-1 0-.51 23 45 6 7 8-1 0-.512 3456 781 1-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域 x＞ 0 定义域 x＞0 值域为 R 值域为 R在 R 上递增在 R 上递减函数图象都函数图象都过定点过定点（ 1，0）（ 1，0）对数函数·例题解析例 1． 求下列函数的定义域：（1） y log a x 2； （ 2） y log a (4 x) ； （ 3） y log a (9 x 2) ．解：（ 1）由 x 2>0 得 x 0 ，∴函数 y log a x 2的定义域是x x 0 ；（ 2）由 4 x 0 得 x 4 ，∴函数 y log a (4 x) 的定义域是 x x 4 ；（ 3 ） 由 9-x 2 0 得 -3 x 3 ， ∴ 函 数 y l og(9 x 2 ) 的 定 义 域 是 ax1x 3 x 3 ．例 2． 求函数 y 5x 解：（ 1） 1y 2 ∴ f 1(x) log 1 5 5 x 2 1（ 2） 1y - 2 ∴ f -1 ( x) 2 例 4． 比较下列各组数中两个值的大小：x 21 12 ( x 0) 的反函数。

2 和函数 y2( x 2) (x -2) ；log 1 ( x - 2) (2 x 5) ． 2 2（ 1） log 2 3.4 ， log 2 8.5 ； （ 2） log 0.3 1.8 ， log 0.3 2.7 ； （3） log a 5.1 ， log a 5.9 . 解：（ 1）对数函数（ 2）对数函数y log 2 x 在 (0, ) 上是增函数，于是log 2 3.4 log 2 8.5 ； y log 0.3 x 在(0, ) 上是减函数，于是log 0.3 1.8 log 0.32.7 ；（ 3）当 a 1 时，对数函数 y log a x 在(0, ) 上是增函数， 于是 log a 5.1 log a5.9 ，当 o a 1时，对数函数 y log a x 在 (0, ) 上是减函数，于是 log a 5.1 log a5.9 ． 例 5． 比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1） log 6 7 ， log 7 6 ；（ 2） log 3，log20.8 ；（3） 1.10.9， log 1.1 0.9 ， log0.70.8 ；（ 4） log 5 3 ，log 63 ， log 73 ．解：（ 1）∵log67 log 6 6 1 ， log 7 6 log 7 7 1，∴ log6 7 log 7 6 ；（ 2）∵ log3log3 1 0 ，log 20.8 log 210 ，∴ log 3log 2 0.8 ．(3 ）∵10 . .19 ，1. log11.1 0.91log 1.1 1 0 ，0 log 0.7 1 log 0.70.8 log 0.7 0.71，∴ 1.10.9log 0.70.8 log 1.1 0.9 ．（ 4）∵ 0 log 35 log 3 6log3 7 ，∴ log 5 3 log6 3 log7 3 ．例 7．求下列函数的值域：（ 1）ylog 2(x3) ；（ 2） y log 2 (3x2 ) ；（ 3）y log a (x24x 7) （ a 0 且a1）．解：（ 1）令t x 3 ，则 y log 2t ，∵ t 0 ，∴ yR ，即函数值域为R ．（ 2）令t 3 x2，则 0t 3 ，∴ y log 2 3 ，即函数值域为 ( ,log 2 3] ．（ 3 ）令t x24x 7 (x 2) 2 3 3 ，当 a 1 时， ylog a3 ，即值域为[log a 3, ) ，当 0 a 1时， y log a 3 ，即值域为( ,log a 3] ．例 8．判断函数f ( x) log 2( x2 1 x) 的奇偶性。

解：∵x2 1 x 恒成立，故 f (x) 的定义域为 ( , ) ， f ( x) log 2 ( x2 1 x)log 2 1 log 2x2 1 x log2 x2 1 xf ( x) ，所以， f (x)x 2 1 x (x2 1)2 x2为奇函数。

例 9．求函数y2log 1 ( x23x 2) 的单调区间。

3解：令u x23x 2 (x 3 )2 1 在[ 3 ,) 上递增，在( , 3] 上递减，2 4 2 2又∵23x 2 0 x 2 x 1 x，∴或，故 u x23x 2 在 (2, ) 上递增，在(,1) 上递减，又∵ y 2 log 1 u 为减函数，3所以，函数 y 2log 1 ( x23x2)在(2,) 上递增，在( ,1) 上递减。

3例 10．若函数 y log 2( x2axa) 在区间( ,1 3) 上是增函数， a 的取值范围。

解：令 u g( x) x2ax a ，∵函数 y log 2 u 为减函数，∴ u g(x)x2ax a 在区间 ( , 13上) 递减，且满足 u 0 ，∴a312 3 a 2 ，2 ，解得 2g (1 3) 0所以， a 的取值范围为[2 2 3, 2] ．【例 1】(1) 求函数 y=log13x2 的定义域．22 x 1(2 ) 求函数 1 ＞，且≠1)的定义域．y =a)(a 0 a1 log a( x(3 ) 已知函数 f(x) 的定义域是[0， 1]，求函数 y = f[log 1 (3－ x)]的定义3log 1 3x 2≥ 0 3x 2 x 1 ≤02 2x 12x≤1 2x 1(1)由3x2＞ 011或x＞2解(3x2)( 2x 1) ＞0 x＜2x 1x≠12 32x 1≠ 0x≠1221＜x≤ 12x＜1或＞2 2 ＜≤2x x13 3x≠ 12∴所求定义域为 {x| 2＜x≤1}3解(2) ∵ 1－ log a(x ＋ a) ＞ 0，∴ log a(x ＋ a) ＜ 1．当 a＞ 1 时， 0＜ x＋ a＜ a，∴函数的定义域为当 0＜ a＜ 1 时， x＋ a＞ a，∴函数的定义域为( －a， 0) ．(0 ，＋∞ ) ．解(3) ∵f(x) 的定义域为 [0，1]，∴函数 y = f[log 1 (3－x)] 有意义，3必须满足≤－≤ ，即1≤log 1－x)≤log11 ，∴1 ≤ －log 1 (3x) 1log 1(3 33 3 3 3 3 3x≤ ，∴≤x≤ 8．故函数y =f[log－的定义域为[2，8．12 3 1 (3x)] ]3 3【例 2】已知函数 y =10x域和值域．1 10x ，试求它的反函数，以及反函数的定义x x 解 已知函数的定义域为 R ，∵ y = 10 x ∴ y ≠1，由 y = 10 x 得 10 101 1x x y＞ 0 0＜ y ＜1，即为函数的值域． (1－y)10 = y ，∴ 10 =1 y由 10x= y 得 x = lg y ，即反函数 f 1(x) =lg x ． 1 y 1 y 1 x反函数的定义域为(0 ， 1) ，值域为 y ∈ R ． 【例 3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间．(1)y=lg( －x)(2)y=log 2|x ＋ 1|(3)y =|log 1 (x －1)|， (4)y ＝log 2 (1－x) ．2解 (1)y=lg( － x) 的图像与 y=lgx 的图像关于 y 轴对称，如图 2．8－ 3 所示，单调减区间是 ( －∞， 0) ．解 (2) 先作出函数 y=log 2|x| 的图像，再把它的图像向左平移1 个单位就得y ＝ log 2|x ＋ 1| 的图像如图 2．8－ 4 所示．单调递减区间是 ( －∞，－ 1) ． 单调递增区间是 ( － 1，＋∞ ) ．解 (3) 把 y = log 1 x 的图像向右平移 1个单位得到 y = log 1 (x － 1) 的图像，保留其在x2 2 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，就得到 y =|log 1 (x － 1)|的图像．如图 2． 8－ 5 所示 2单调减区间是 ( － 1， 2] ． 单调增区间是 [2 ，＋∞ ) ．解 (4) ∵函数 y=log 2( －x) 的图像与函数y=log 2x 的图像关于y 轴对称，故可先作y=log 2( －x)的图像，再把y＝ log 2( － x) 的图像向右平移1 个单位得到y=log 2(1 －x) 的图像．如图2． 8－ 6 所示．单调递减区间是( －∞， 1) ．【例4】图 2．8－ 7 分别是四个对数函数，①y=log ax② y=log bx③ y=log cx④y=logdx的图像，那么 a、 b、 c、 d 的大小关系是[ ] A． d＞ c＞ b＞ a B． a＞ b＞ c＞ dC． b＞ a＞ d＞ c D． b＞ c＞ a＞ d解选 C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞ 1 的值，易得b＞a＞ 1＞d＞c．【例5】已知log a3＞ log b3，试确定a和b 的大小关系．解法一令y1=log ax，y2=log bx，∵ log ax＞ log b3，即取x＝ 3 时，y1＞y2 ，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1) 当 log a3＞ log b3＞ 0 时，由图像2．8－ 8，取x=3，可得b＞ a＞1．(2) 当 0＞ log a3＞ log b3 时，由图像2．8－ 9，得0＜ a＜ b＜ 1．(3) 当 log a3＞ 0＞ log b3 时，由图像2．8－ 10，得a＞ 1＞ b＞ 0．【例6】若 a2＞ b＞ a＞ 1，则 logaa、 logbb、 logb a、 log a b的大小顺序是：b a_____．解∵a2＞b＞ a＞ 1，∴ 0＜a＜1，b＞ 1，∴ log a ＜，log b b ＞b a a b0 a，＜＜，＞．由 2 ＞＞＞得＞b＞∴log b b ＜＜0 0 log b a 1 log a b 1 a b a 1 a a 1 a log b aa b1，故得： log a b＜log b a＜log b a＜log a b．【例 8】已知函数 f(x) = log a (x＋1x 2 )(a＞ 0，且 a≠ 1)，判断其奇偶性．解法一已知函数的定义域为R，则－ x∈ R f(－ x) = log a( 1+ x 2－ x)( 1 x 2x)( 1 x2x)= log a1 x2x1 x 2x2= log a = log a 1 x 2x11 x 2x= log a ( 1 x 2x) f (x)∴f(x) 是奇函数．解法二已知函数的定义域为R由 f(x) ＋f( －x) = log a ( 1+ x 2＋x) ＋log( 1+ x 2－ x)= log a [( 1+ x 2x)( 1+ x 2x)]=log a1=0∴f(x)= － f(x) ，即 f(x) 为奇函数．单元测试一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） .1．对数式 loga2(5a) b 中，实数 a的取值范围是（）A． ( ,5) B． (2,5) C． (2, )D． ( 2,3) (3,5)2．如果lgx=lga+3lgb － 5lgc ，那么（）A． x=a+3b－ c3ab ab 3D． x=a+b3－ c3 B． x C． xc55c3．设函数y=lg(x 2－5x) 的定义域为 M，函数 y=lg(x －5)+lgx的定义域为 N，则（）A． M∪N=R B． M=N C． M N D． M N4．若 a＞ 0， b＞ 0， ab＞ 1， log 1 a =ln2 ，则 log ab与 log 1 a的关系是（）2 2A． lo g ab＜log 1a ．loga log 1aBb=2 2C． lo g a log 1a ．loga log 1aDb＞b≤2 25．若函数 log 2(kx 2+4kx+3) 的定义域为 R，则 k的取值范围是（）A． 0, 3B． 0, 3C． 0,3D． ( ,0] 3 ,4 4 4 46．下列函数图象正确的是（）ABC D7．已知函数g(x) f (x) 1，其中 log 2f(x)=2x， x R ，则 g(x) （）f ( x)A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数9．如果 y=log 2 x 在 (0 ， +∞ ) 内是减函数，则 a 的取值范围是（）a － 1A ．｜ a ｜＞ 1B ．｜ a ｜＜2 C ． a 2 D ． 1 a210．下列关系式中，成立的是（） 1 0A ． log 3 4log 1 10 B ． log 1 101 log 3 4 5 5 3 3 0C ． log 3 4 1D ． log110 1 log 1 10log 3 4 3 5 3 5 二、填空题：（每小题 6 分，共 24 分） .11．函数 y log 1 (2 x 2) 的定义域是 ，值域是. 2 12．方程log(2 x +1)log (2 x+1+2)=2 的解为 . 2 213．将函数 y 2 x 的图象向左平移一个单位，得到图象 C1，再将 C1 向上平移一个单位得到图象 C ，作出 C 关于直线 y=x 对称的图象 C ，则 C 的解析式为 .2 23 314．函数 y= log 1 (x 24x 12) 的单调递增区间是. 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76 分 ). 15．（ 12分）已知函数f ( x) log 2 x 1log 2 ( x 1) log 2 ( p x) . x 1(1) 求函数 f (x) 的定义域； (2) 求函数 f (x) 的值域 .16．（ 12分）设 x ， y ， z ∈ R +，且 3x=4y=6z.(1)求证： 11 1 ; (2) 比较 3x ， 4y ，6z 的大小 . zx 2 y17．（ 12分）设函数 f ( x ) lg( xx 21) .(1) 确定函数 f (x) 的定义域； (2) 判断函数 f (x) 的奇偶性；(3) 证明函数 f (x) 在其定义域上是单调增函数； (4) 求函数 f(x) 的反函数 .18．现有某种细胞 100个，其中有占总数 1的细胞每小时分裂一次，即由 1个细胞分裂成 2个 2细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 1010个？（参考数据：lg3 0.477,lg 2 0.301 ） .20．（ 14 分）已求函数 ylog a ( xx 2)( a 0,a 1) 的单调区间 .必修 1 数学章节测试（ 7）—第二单元（对数函数）一、 DCCAB BDBDA二、 11 ． 2 1 1, 2 ， 0, ；12 ． 0 ； 13 ． y log 2 ( x 1)1 ； 14． ( , 2) ；三、15． 解：(1) 函数的定义域为 (1 ， p).(2) 当 p ＞ 3时， f( x ) 的值域为 ( －∞， 2log 2( p +1) －2) ；当1＜ p 3 时， f (x) 的值域为( －， 1+log2(p+1)).16． 解： (1) 设 3x =4y =6z=t. ∵ x ＞0， y ＞ 0，z ＞ 0，∴ t ＞ 1，lgt ＞ 0，x log 3 t lg t , y lg t , z lg tlg 3 lg 4 lg 6∴ 1 1 lg 6 lg 3 lg 2 lg41 . z x lg t lg t lg t2 lgt 2y(2)3 x＜ 4y＜ 6z.17．解： (1) 由 x x 21 0 得 x ∈ R ，定义域为 R. (2) 是奇函数 . (3) 设 x 1， x 2∈ R ，且 x 21 0x1＜ x2，则f (x1 ) f(x2 )lg x1 x12 1 .令 tx x 21 ，x 2 x 221则t 1t 2 ( x 1x 12 1) ( x 2 x 221).=( x 1 x 2 )( x 12 1 x 221) =( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 )(x 1 x 2 )x 2 1 x 211 2=( x 1 x 2 )( x 12 1 x 221 x 1 x2 x 12 x 221 1∵ x 1－x 2＜ 0， x 121x 1 0 ，x 221 x2 0 ，x 12 1x 221 0 ， ∴ t 1－t 2＜ 0，∴ 0＜ t 1＜t 2，∴ 0t 11，t 2∴ f (x 1) － f (x2) ＜ lg1=0 ，即 f (x1) ＜ f(x2) ，∴ 函数f(x)在 R 上是单调增函数 .(4) 反函数为y 102 x 1 (x R). 2 10 x18．解：现有细胞 100 个，先考虑经过 1、 2、 3、4 个小时后的细胞总数，1 小时后，细胞总数为 1 100 1 10023 100 ；2 2 2 2 小时后，细胞总数为 13 1001 3 1002 9 100；2 22 243 小时后，细胞总数为 1 9 1001 9 1002 27 100；2 42 4 84 小时后，细胞总数为 1 27 1001 27 1002 81 100 ；2 8 2 8 16xy 与时间 x （小时）之间的函数关系为：3 可见，细胞总数y 100 ， x N 2x x由 100 3 1010，得 108 ，两边取以 10 为底的对数，得 3 2 2∴ x 8 ， ∵8 845.45 ，lg3lg3 lg 2x lg 38，2∴ x 45.45.答：经过46 小时，细胞总数超过 1010个 . 19．解：（ 1）过 A,B,C, 分别作 AA ,BB ,CC 垂直于 x 轴，垂足为A ,B ,C ，1 1 1 1 1 1则S=S梯形 AA1B1B +S 梯形 BB1C1C － S 梯形 AA1C1C.log 1 t 24t log 3 (1 4(t 2) 2 t 2 ) 3 4t-----（2）因为 v= t 24t 在 [1,) 上是增函数 , 且v 5,v 14在 5.上是减函数，且1<u9; S log 3 u 在 1,9上是增函数，v55所以复合函数S=f(t)log 3 (1 4 )在 1, 上是减函数t 24t9（3）由（ 2）知 t=1 时， S 有最大值，最大值是f (1) log 3 2 log 3 5 520．解：由 x x 2>0得 0<x<1，所以函数ylog a ( x x 2) 的定义域是 (0,1) 因为 0< x x 2=( x 1 )2 1 1 ，2 4 4 1所以，当 0<a<1时 ,log a ( x x 2 ) log a 4函数 y log a ( xx 2) 的值域为 log a 1 , ;4当a>1时 ,log a (x x 2 ) log a 14 函数 y log a ( xx 2) 的值域为 ,log a14当 0<a<1时，函数ylog a ( x x 2) 在0, 1 上是减函数，在 1 ,1 上是增函数；2 2当 a>1 时，函数y log a ( x x 2) 在 0, 1 上是增函数，在 1 ,1 上是减函数 .2 2。