函数的值域与最值【考纲说明】1．理解值域和最值的区别与联系，掌握求函数值域和最值的基本方法； 2．通过函数最值求参数的范围，同时解决恒成立问题；【知识梳理】2.函数的值域1、函数值域的概念在函数y=f （x ）中，与自变量x 的值对应的y 值叫做函数值。

函数值的集合叫做函数的值域。

2、确定函数值域的原则（1）当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数y=f （x ）用图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； （3）当函数y=f （x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其解析式唯一确定； （4）当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定； 3、常见函数的值域（1）一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；（2）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），当a>0时值域为]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 （3）反比例函数y=xk（x ≠0）的值域为{}R y y y ∈≠且,0| （4）指数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为),0(+∞。

（5）对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；（6）正弦函数x y sin =,余弦函数x y cos =的值域都是]1,1[-。

（7）正切函数),2(tan Z k k x x y ∈≠=∏+∏其中,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

3.函数的最值1、函数的最值一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =一、①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。

记作()min 0y f x =2、利用函数最值求参数的范围通过分离变量，用自变量把参数表示出来，得到参数关于某个变量的函数或不等式，然后求出该函数的最值。

利用函数的最值，可得到参数的范围。

3、最值在实际问题中的应用（1）在实际问题中建立函数模型，利用函数的最值求相关量的最值； （2）已知实际问题中有关量的最值，求相关量的取值范围；4.求函数值域和最值的常用方法1、基本函数法对于基本函数的值域，可通过它的图像、性质直接求解； 2、配方法对于形如y=ax 2+bx+c （a ≠0）或y = a [f(x)]2+ b f(x) + c (a ≠0)类的函数的值域问题，均可用配方法求解； 3、换元法利用代数或三角换元，将所给函数转化为易求值域的函数。

形如y=)(1x f 的函数，令f （x ）=t ； 形如y=ax+b+d cx +(a 、b 、c 、d 均为常数，ac ≠0)的函数，令d cx +=t ；形如22x a -的函数，可利用三角代换，令x=a cos θ，θ∈[0，π]；或令x=a sin θ ，θ∈]2,2[ππ-4、不等式法利用基本不等式a+b ≥2ab 。

注意条件“一正二定三相等” 5、函数的单调性法确定函数在定义域上（或定义域上的某个子集）的单调性求出函数的值域。

例如f （x ）=ax+xb（a>0，b>0） 当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性。

6、数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助于几何法求函数的值域。

形如1212x x y y --可联想两点（x 1，y 1）与（x 2，y 2）连线的斜率。

7、函数的有界性法 形如y=xxsin 1sin +，可用y 表示出sinx ，再根据-1< sinx ≤1，解关于y 的不等式，可求出y 的取值范围。

8、导数法设y=f(x)的导数为f ’(x),由f ’(x)=0可求得极值点坐标。

若函数定义域为[a,b],则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值。

【经典例题】【例1】（2013年新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是A.(,0]-∞B.(,1]-∞C.[2,1]-D.[2,0]- 【解析】D【例2】错误！未指定书签。

（2013辽宁（理））已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示 ,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -= A.2216a a -- B.2216a a +- C.16- D.16 【解析】B【例3】（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取 值范围是（A ）[1 （Ｂ）(,1)-∞∞（Ｃ）[2- （Ｄ）(,2)-∞-∞ 【解析】D【例4】错误！未指定书签。

（2013年上海卷（理））设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++, 若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________ 【解析】87a ≤-【例5】（2010浙江）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .。

【解析】5102【例6】（2012浙江卷.理）已知a ＞0，b ∈R ，函数()342f x ax bx a b =--+． (Ⅰ)证明：当0≤x ≤1时，(ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a －b |﹢a ；(ⅱ) ()f x ＋|2a －b |﹢a ≥0； (Ⅱ) 若﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，求a ＋b 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)利用导数求解；(Ⅱ）a ＋b 的取值范围为：(]3-∞，．【例7】(2012全国卷.理)已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值． 【解析】（1）()f x 的解析式为21()2x f x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞（2）当x =max ()2eF x =当1,a b ==(1)a b +的最大值为2e【例8】（2012湖南卷）已知函数()f x =ax e x =-，其中a ≠0. 二、若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.三、在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）a 的取值集合为{}1.（Ⅱ）存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln,)()ax ax e e x a a x x --. 【例9】设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立. 【解析】（Ⅰ）a e = 或3a e =。

（Ⅱ）a的取值范围为33e a e ≤≤。

【例10】（2011北京理）已知椭圆G ：2214x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。

（Ⅰ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值。

【解析】（Ⅰ）椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-,离心率为.23==a c e （Ⅱ）212212)()(||y y x x AB -+-=.3||342+=m m |AB|的最大值为2. 【例11】（2012四川） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立。

（Ⅰ）求1a ，2a 的值； （Ⅱ）设10a >，数列110{lg}na a 的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值。

【解析】（I ）120,0a a ==；或121,2a a ==1212a a =-=-（II ）数列{}n b 是单调递减的等差数列（公差为1lg 22-），从而 故7n =时，n T 取得最大值，且n T 的最大值为1777()7(113lg 2)217lg 2222b b T ++-===-【例12】已知向量a =)sin sin (cos x x x ωωω，-，b =)cos 32sin cos (x x x ωωω，--， 设函数f （x ）=a ·b +)(R x ∈λ的图像关于直线x =π对称，其中λω，为常数，且）（1,21∈ω （1） 求函数f （x ）的最小正周期；（2） 若y=f （x ）的图像经过点）（0,4π求函数f （x ）在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡530π，上的取值范围 【解析】略【课堂练习】1.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 2.（2012全国）已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）3.（2011湖南）设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)++∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 4.错误！未指定书签。