历届高考数学压轴题汇总及答案（上海卷2019-2020）一．填空题1.(上海2019.12题) 已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．2.(上海2020.12题) 已知1a ，2a ，1b ，2b ，……，()*k b k N ∈是平面内两两互不相等的向量，满足121a a -=，且{1,2}j i a b -∈（其中1,2i =，1,2,...j =，k ），则K 的最大值为______. 二．选择题3.(上海2019.16题) 以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是 （ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线4.(上海2020.16题) 若存在a R ∈且a 0≠，对任意的x R ∈，均有()()()f x a f x f a ++＜恒成立，则称函数()f x 具有性质P ，已知：1q ：()f x 单调递减，且()0f x ＞恒成立；2q ：()f x 单调递增，存在00x ＜使得()00f x =，则是()f x 具有性质P 的充分条件是（ ） A .只有1q B .只有2q C .1q 和2qD .1q 和2q 都不是三．解答题5.(上海2019.20题) 已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断()()13d P d P +与()22d P 的关系．6.(上海2020.20题) 双曲线1C ：22214x y b-=，圆2C ：()22240x y b b +=+＞在第一象限交点为A ，(),A A A x y ，曲线22222241,44,A x y x x b x y b x x⎧-=⎪Γ⎨⎪+=+⎩＞＞。

（1）若A x b ；（2）若b =2C 与x 轴交点记为1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足18PF =，求12F PF ∠；（3）过点20,22b S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且斜率为2b-的直线l 交曲线Γ于M 、N 两点，用b 的代数式表示OM ON ，并求出OM ON 的取值范围。

7.(上海2019.21题)已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．8.(上海2020.21题) 有限数列{}n a ，若满足12131n a a a a a a --⋯-≤≤≤，m 是项数，则称{}n a 满足性质p .（1）判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质p ，请说明理由. （2）若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质p ，求q 的取值范围. （3）若n a 是1，2，…，m 的一个排列()4m ≥，()11,21k k b a k m +==⋯-，{}n a ，{}n b ，都具有性质p ，求所有满足条件的{}n a .答案1.【答案】1或3-【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，的值为1或3-． 故答案为：1或3-．2.【答案】6【解析】根据向量减法的运算规律，{1,2}i j a b -∈可转化为以向量1a 和2a 终点为圆心，作半径11r =和22r =的圆，两圆交点即为满足题意的b ，由图知，k 的最大值为6。

3.【答案】A【解析】解：因为111r a =-=，则21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=， 所以121y y =，则()()1212121a a--=，t即12122a a a a =+， 则12112a a +=， 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A4.【答案】C【解析】本题要看清楚一个函数具有性质P 的条件是，存在a R ∈且a 0≠， 则对于1q ，0a ＞时，易得函数()f x 具有性质P ；对于2q ，只需取0a x =，则0x a x x x +=+＜，()()00f a f x ==，所以()()()()()0f x a f x x f x f x f a +=+=+＜，所以此时函数()f x 具有性质P 。

5. 【答案】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，84323PFk ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =， 抛物线的准线方程为1x =-，可得103PF =， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，422Q m y m ==+2()||22P P Q y d P PF y -==22=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+； （3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则 ()()()132132242d Pd p d P PF P F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦由()2213131628y y y y ⎡⎤-++=-⎣⎦，()()()()(22222213131313134444840y y y yy y y y y y ++-+=+-=->，则()()()1322d P d P d P +>．6. 【答案】 （1）2； （2）1116；（3）()6++∞；【解析】（1）若A x A 为曲线1C 与曲线2C 的交点，2222221144A x y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩∵，解得2y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2b =∴（2）由题意易得1F 、2F 为曲线的两焦点， 由双曲线定义知：212PF PF a =-，18PF =，24a =，24PF =∴又b =∵126F F =∴ 在12PF F △中由余弦定理可得：2221212121211cos 216PF PF F F F PF PF PF +-==∠ （3）设直线24:22bb l y x +=-+可得原点O 到直线l 的距离d ==所以直线l 是圆的切线，切点为M ， 所以2QM k b=，并设2:OM l y x b =，与圆2224y b x +=+联立可得222244x x b b +=+，所以得x b =，2y =，即(),2M b ，注意到直线l 与双曲线得斜率为负得渐近线平行， 所以只有当2A y ＞时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由222222144Ax y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，得422Ab y a b =+， 所以有4244b b +＜，解得22b +＞22b -＜（舍） 又因为OM ON 由ON在OM 上的投影可知：24OM ON b =+246OM ON b =++＞()6OM ON ∈++∞7. 【答案】 解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sinn n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：∴根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．8. 【答案】（1）对于第一个数列有231-=，532-=，132-=， 满足题意，该数列满足性质p对于第二个数列有341-=，242-=，541-=不满足题意，该数列不满足性质。