2021年高考压轴卷数学（理）含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2. 设集合，集合，则 = （）A． B． C． D．3.设是两个不同的平面，直线，则“”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( ).A． B． C． D．5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1206.按照如图的程序运行，已知输入的值为，则输出的值为( )A. 7B. 11C. 12D. 247.已知是公差为的等差数列，为的前项和.若成等比数列，则（）A． B． C． D．8.一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点Po离地面2m，风车翼片的一个端点P从P o开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间f（min）之间的函数关系式是（）A． B．C． D．9.设函数是（）的导函数，，且，则的解集是( )A. B. C. D.10. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11. 已知向量，满足，，则 .12. 二项式展开式中的常数项为 .13. 若x，y满足约束条件则目标函数z=﹣2x+y的最小值为．14.已知点在单位圆上运动，点到直线与的距离分别记为、，则最小值为__________．15.现定义一种运算“”；对任意实数，，设，若函数的图象与轴恰有二个公共点，则实数的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.17. （本小题满分12分）在三棱柱中，，侧棱平面，且，分别是棱，的中点，点在棱上，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和满足：，，数列的前项和满足：，.（Ⅰ）求与；（Ⅱ）比较与的大小，并说明理由.19. （本小题满分12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按 1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．20. （本小题满分13分）已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．21. （本小题满分14分）已知函数ln()()ln(),[,0),(),xf x ax x x eg x ex-=--∈-=-其中是自然对数的底数，．（1）当时，讨论函数的单调性并求的最小值；（2）求证:在(1)的条件下，；（3）是否存在实数,使的最小值是，如果存在,求出的值；若不存在,请说明理由.xx山东高考压轴卷数学理word版参考答案1.【答案】D【解析】由题意得，所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.2.【答案】A【解析】由已知，，所以．故选A．3.【答案】C【解析】一条直线垂直于两个不同的平面，则这两个平面平行；反之也成立（面面平行的判定与性质）。

故选C.考点：充分条件和必要条件.4. 【答案】B【解析】由三视图可知几何体为圆锥和半球的组合体.半球的半径为1，圆锥的高为为，故圆锥的母线长为，故几何体的表面积.5.【答案】B【解析】根据频率分布直方图，成绩不少于分的频率，然后根据频数=频率×总数，可求出所求.根据频率分布直方图，成绩不少于分的学生的频率为.由于该校高一年级共有学生人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不少于分的人数为.故选B.6.【答案】D【解析】由程序框图，，因此值变为，此时计算．故选D ．7.【答案】C【解析】因为是公差为的等差数列，为的前项和，成等比数列，所以，解得，所以，故选C.8.【答案】B【解析】设h （t ）=Acosωt+B，∵12min 旋转一周，∴=12，∴ω=．由于最大值与最小值分别为18，2．∴，解得A=﹣8，B=10．∴h （t ）=﹣8cost+10．故选：B ．9. 【答案】D【解析】根据，，导函数于原函数之间没有用变量x 联系，可知函数与有关，可构造函数为，，即，，解得，故选D10.【答案】C.【解析】如下图所示，，，过作准线的垂线，垂足是，由对称性，不妨令在第一象限，∴，∴问题等价于求的最小值，而21111144tan 14y x PAH x x x x ++∠===+≥=，当且仅当时等号成立，此时||||221PA PF a a -==⇒=，∴，故选C ．11.【答案】【解析】由，即，即，所以.12.【答案】20【解析】中的通项为，若为常数项，则，.13.【答案】-4【解析】由题意作平面区域如下，，目标函数z=﹣2x+y可化为y=2x+z，故结合图象可知，当过点B（3，2）时，z 有最小值为﹣2×3+2=﹣4；故答案为﹣4．14.【答案】【解析】 设，则13cos 4sin 10432sin cos 555d θθθ-θ--==+，而，所以，所以最小值为，故答案应填.15.【答案】【解析】由题意得出函数，作出函数的图象如图所示，若函数的图象与轴恰有二个公共点，则方程即恰有二个不同实根，则或或，所以的取值范围是，故答案应填.16.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，∴，∴，∴C A C A A A C sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2+=+，∴，∴.又∵是三角形的内角，∴.（2），∴，∴，又∵，∴，∴,∴.17.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）设为的中点，连结，∵，为的中点，∴为的中点，又∵为的中点，∴，又∵为的中点，为的中点，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）建立如图所示的坐标系，∵，，分别为，的中点，，，，，，，设平面的法向量为，，，，，，不妨令，则，，∴，同理可得平面的一个法向量为，||12(3)02110cos ,5||||225m n m n m n ⋅⨯+-⨯+⨯<>===⋅⨯，∴二面角的余弦值为.18.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）当时，；当时，，理由见解析.【解析】（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，由已知可得：解得，所以，对数列，由已知有，即，所以，（*）又由已知，可得，两式相减得，即，整理得结合（*）得（常数），,所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.（Ⅱ），所以于是()()()212123231352n n n n n n S b T a n n n n n --⎡⎤-=+⋅--=-+⎣⎦ 显然当时，，即，当时，，即，所以当时，；当时，.19.【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望是．【解析】（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为．记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则．所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为．（2）设甲、乙两个所付的费用之和为，可能取得值为0，2，4，6，81111151111115(0),(2),(4)844221644242416====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅=P P P ξξξ， ，，分布列所以155317024688161616162E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20.【答案】（1）；（2）存在一个定点满足条件．【解析】（1）则由题设可求得又，则，所以椭圆的方程是（2）解法一：假设存在点，若直线的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理得 设点的坐标分别为，则， 因为及，所以2212121212121()()(1)()()339⋅=+--=+-+++++v TA TB x x y v y v k x x k kv x x v当且仅当恒成立时，以为直径的圆恒过定点所以，解得，此时以为直径的圆恒过定点当直线的斜率不存在，与轴重合，以为直径的圆为也过点．综上可知，在坐标平面上存在一个定点，满足条件分解法二：若直线与轴重合，则以为直径的圆为，若直线垂直于轴，则以为直径的圆为，由，解得，由此可知所求点如果 存在，只能是事实上点就是所求的点，证明如下：当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，过点；当直线的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程并整理得设点的坐标为，则，因为，所以有2222121212121224161616163216()1(1)()039189---++⋅=+-++=+-+==+k k k TA TB x x y y y y k x x k x x k ，所以，即以为直径的圆恒定过点综上可知，在坐标平面上存在一个定点满足条件21.【答案】（1）函数在上是减函数，在上是增函数，最小值为；（2）证明见解析；（3）存在，.【解析】(1)则0)(01;0)(1>'<<-<'-<≤-∴x f x x f x e 时，当时，当函数在上是减函数，在上是增函数的最小值为(2)证明：上的最小值为1，精品文档实用文档(3)假设存在实数a ，使上有最小值3，[),1,1,10,,01)(e a e x e x x a x f -≥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-∈-∈≥-='则则又恒成立若 ①若，上的增函数ee a ae ef x f 14.31)()(min -<-==--=-=∴解得（舍去） ②若01)(,1,1<-='<≤--<x a x f a x e e a 时则当 2min 11()ln()0,()0111()ln()()()1ln()3,f x ax x x f x a a x f x ax x f x f a e a a e'=--<<=->=--∴==--==-<-此时是减函数,当时此时是增函数解得 由①、②知，存在实数有最小值335989 8C95 貕€Q35712 8B80 讀"24634 603A 怺37413 9225 鈥20169 4EC9 仉Xi 31078 7966 祦$20000 4E20 丠\。