1 1
8
对 x求导得速度分量：
x2 d1cos(1)1 d2 cos(12)(1 2) y2 d1sin(1)1 d2 sin(1 2)(1 2)
v22 x22 y22 d1212 d22(12 212 22) 2d1d2 cos(2)(12 12)
动能：
K2
势能：
1 2
m2d1212
它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡
所应提供的关节力或关节力矩，记作
r
i
uur ki uFuiur Nhomakorabeari，其大小为
ki M i
3
当忽略杆件自重时
ur Gi
，上式可简记为 ：
ur i Fi uur i Mi
r r
i
ur i R i 1
ur i Ri1
0 ur i R i 1
6
6.3 二杆机器人的拉格朗日方程 6.3.1 刚体系统拉格朗日方程
应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。
定义：L=K-P L—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。
❖ 系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、 圆柱坐标系等）中表示 ，不是一定在直角坐标系中。
动力学方程为：
二、机器人动力学研究的问题可分为两类： 1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器
人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知 , 求 , 和 ，称为动力学正问题）。
2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力
（矩）（即已知 ,和，求 , 称为动力学逆问题 ）。 5
三、动力学研究方法：
ur i1 F i1 uur i M i1
4
6-2 机器人动力学概述
一、研究目的：
1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。 2、解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制）
在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有 效惯量及耦合量都会发生变化（时变的），因此，加于各 关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。
uur M i1
yi1
r
ri
Oi 1
Oi
rrCi
xi
Gi mi g
Li1 xi 1
2
按静力学方法，把这些力、力矩简化到 Li 的固联坐标系
oi xi yi ziuur，可u得uur： ur
uFuir
Fuiur1
Gi r
ur
r ur
M i M i1 ri F i1 rCi Gi
或
uur uFui uir
对质点 m1：
2
动能：
k1
1 2
m1v1
1 2
m1
(d1
&1 )2
1 2
m1d12&12
势能： p1 m1g d1 cos(1)
❖（负号与坐标系建立有关）
对质点 m2 ： 先写出直角坐标表达式：
x2 d1sin(1) d2 sin(12) y2 d1 cos(1) d2 cos(1 2)
m2 d1d 2
cos(2 )(&12
12 )
(m1 m2 )g d1s(1) m2 gd2 cos(1 2 )
L(1,2,1,2)
9
三、动力学方程
先求第一个关节上的力矩 1
L
1
(m1
m2
)d121
第六章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。
机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。
机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，难以 用于机器人实时控制。然而高质量的控制应当基于被控对象 的动态特性，因此，如何合理简化机器人动力学模型，使其 适合于实时控制的要求，是机器人动力学研究追求的目标。
1
6.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递
作用在有操力作矩u机r 中Muu，ruiur任1和取力两uFr连i1杆；在Li杆，LiL1i。上设作在用杆有自Li重1上力的GurO〔i i过1 点质
心 Ci ）；ri 和 rCi 分别为由 Oi 到 Oi1 和 Ci 的向径。
zi
yi
ur F i1
zi 1
Ri i 1
ur i1 F i1
uuuur
Mii
R M i
i 1
i1 i1
uuur R0iuGr i0 rii
ur
Ri i 1
F
i 1 i 1
uur rCii
R0i
uuur Gi 0
uur
ur
式求中出GuFi0r i
和mMuurii
g( 在
mi 为杆 Li 的质量)。
zi 轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，
1．拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建 立机器人的动力学方程 。代表人物 R.P.Paul、J.J.Uicker、 J.M.Hollerbach等。计算量O(n4)，经优化O(n3)，递推O(n)。
2．牛顿—欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动 表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿—欧拉方程 的动力学方程。代表人物Orin, Luh(陆养生)等。计算量O(n)。
i
d dt
L q&i
L qi
广义力 广义速度 广义坐标
（力或力矩）（ 或 v） （ 或 d ） 7
6.3.2 机器人拉格朗日方程
设二杆机器人臂杆长度分别为 d1, d2 ，质量 分别集中在端点为 m1, m2 ，坐标系选取如图。
以下分别计算方程中各项：
一、动能和势能
K 1 mv2 P mgh
1 2
m2d22
(12
212 22 )
m2d1d2
cos(2 )(12
12 )
P2 m2gd1cos(1) m2gd2 cos(1 2)
二、Lagrange函数
L K P (k1 k2 ) ( p1 p2 )
1 2
(m1
m2 )d12&12
1 2
m2d22 (&12
2&1&2 &22 )
3．高斯原理法: 利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动 力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫(苏). 用以解决第 二类问题。计算量O(n3)。
4．凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学 方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进 行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必 求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。计 算量O(n!)。