16:31
机器人研究所
7
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
对于转动关节i，除了绕转轴的扭矩外，其余各方向 的力和力矩都有机械构件承受，因此关节力矩应为
i i mi i Z i
对于移动关节，关节力矩为
i i fi i Zi
16:31
机器人研究所
8
第1节 机器人静力学
{0}中表示 0 f3
0 0 f3 3 R 3 f3
c12 0 式中，旋转变换矩阵为 3 R s12
16:31
s12 c12
机器人研究所
13
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
例题1：2自由度平面机器人末端对外施加的作 用力为F3，求各关节驱动力矩。 解：
机器人研究所
10
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
例题1：2自由度平面机器人末端对外施加的作 用力为F3，求各关节驱动力矩。 解：
1 2 M1 21 R 2 M 2 1 P 1 f1
c2 s2 0
s2 c2 0
0 0 l1 c2 f x s2 f y 0 0 0 s2 f x c2 f y 1 0 0 l2 f y
第1节 机器人静力学
2. 等效力和力雅可比
虚功原理：末端广义力矢量所作的虚功与关节 力矩矢量所作的虚功相等。 虚位移：满足机械系统的几何约束条件的无限 小位移。
关节力矩所作的虚功之和为：
W τ T q 1 q1 2 q2 n qn
16:31
机器人研究所
16:31
机器人研究所
17
第1节 机器人静力学
2. 等效力和力雅可比
τ T q F T J q
τT FT J
τ JT F
上式表明：不考虑关节之间的摩擦力，在外力F 的作用下，操作臂平衡的条件是关节力矩满足 上式。
16:31
机器人研究所
18
第1节 机器人静力学
3. 静力和速度映射的对偶关系
16
第1节 机器人静力学
2. 等效力和力雅可比
末端广义力所作的虚功为：
W F T D f x d x f y d y f z d z mx x my y mz z
根据虚功原理，两部分虚功相等：
τ T q F T D
再由微分运动关系
D J q
写成矩 阵形式
1 l1s2 f l2 y
机器人研究所
12
16:31
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
例题1：2自由度平面机器人末端对外施加的作 用力为F3，求各关节驱动力矩。 解：将外力在坐标系{3}中的表示 3 f3转换到坐标系
16:31
机器人研究所
25
第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
上式两边求转置
A Af BR A A A S p m B0 B R
0 Bf B A B R m
16:31
机器人研究所
26
第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
16:31
雅可比矩 阵
机器人研究所
14
第1节 机器人静力学
2. 等效力和力雅可比
作用在机器人操作臂末端的广义力矢量
f F fx m fy fz mx my mz
T
n个关节驱动力或力矩矢量（关节力矩矢量）
τ 1 2
n
T
16:31
机器人研究所
15
如果忽略连杆自身重量，上式可写成
i fi i fi 1 i i i 1 i M M P fi 1 i 1 i i
16:31
机器人研究所
6
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
将 fi 、 M i 表示在坐标系{i+1}中
i fi i fi 1 i i i 1 i M M P fi 1 i 1 i i
16:31
机器人研究所
22
第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
假设6维广义力矢量
f F m
下面推导广义力矢量在不同坐标系中描述的关 系
A
F BF
16:31
机器人研究所
23
第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
广义力矢量作用下对于坐标系{A}的虚位移(微分 运动矢量) AD，在坐标系{B}内的虚位移为BD， 有如下关系
d R S pT 0 R d T S S δ TR 0 δ
S S T S S T T
{S}传感器坐标系
根据对偶性得出静力的关系
T f SR T T T S p m S0 S R T
第六章 静力学与动力学
第1节 机器人静力学
第2节 机器人动力学
第六章 静力学与动力学
第1节 机器人静力学
第2节 机器人动力学
第1节 机器人静力学
机器人与外界接触会有力和力矩的作用，如灵 巧手抓取物体时；工业机器人搬运货物时。 需要判断各关节的驱动力与末端的作用外力之 间的关系。
16:31
机器人研究所
作力的集合；这时末端操作力完全由操作臂机构本身承 受。
16:31
机器人研究所
20
第1节 机器人静力学
3. 静力和速度映射的对偶关系
q V n

J
X V m

速度
X J q q
N J


X 0

RJ
JT
F V m
τ V n
静力
τ J T q F
τ 0
T d RT T δ 0 R S p d T R δ
T
B T AR A D 0 B T A R S B pA0 B D B T AR
B B B R S p A A0 A R A B D D B AR 0
3
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
机器人是由连杆和关节（低副机构）组成，这 里将机器人的连杆当成刚体； 以其中一个连杆为对象对其进行静力分析，连 杆 i 及其相邻连杆之间的作用力和作用力矩关系
如下图。
16:31
机器人研究所
4
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
关节i zi
16:31
机器人研究所
24
第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
广义力矢量在坐标系 {A}和{B}中分别用A F 和 B F 表示，他们所作的虚功相等
A
F T AD BF T B D
将 BD 带入，
B B B R S p A A0 A R A T B T F F B AR 0
X J q q
τ J T q F

由力雅可比和运动雅可比之间的关系可知操作 臂的静力传递关系和速度传递关系紧密相关。
16:31
机器人研究所
19
第1节 机器人静力学
3. 静力和速度映射的对偶关系
τ V n
τ 0
JT
F V m
RJ T
N J T
R( J T ) ：代表操作力能平衡的所有关节力矩矢量的集合； N ( J T ) ：代表不需要任何关节驱动力矩而能承受的所有末端操
RJ T
16:31
N J T
机器人研究所
21
第1节 机器人静力学
3. 静力和速度映射的对偶关系
不能由关节运动产生的末端运动方向正是不需关节 力矩平衡的末端操作力的方向。反之，当外力作用
方向沿着末端操作器能够运动的方向时，外力完全
可以由关节力矩来平衡。 运动学和静力学存在对偶性，可以用来阐明运动和 力的传递关系和物理意义。
1 l1s1 l2 s12 τ 2 l2 s12 l1c1 l2c12 0 f3 l2c12
力雅可比与速 度雅可比是转 置的关系！
力雅可比矩阵 T J
l1 sin 1 l2 sin 1 2 l2 sin 1 2 J l cos l cos l cos 1 2 1 2 2 1 2 1
例题2：腕力传感器测出
手腕上的六维广义力SF， 计算工具顶端的作用力TF
{S}传感器坐标系
解：令坐标系{T}到{S}的
齐次变换矩阵为
T T SR ST 0 T
PS 0 1
{T}工具坐标系
16:31
机器人研究所
27
第1节 机器人静力学
4. 力和力矩的坐标变换
微分运动的传递关系为
16:31
0 0 l1s2 f x l1c2 f y l2 f y
机器人研究所
11
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程
例题1：2自由度平面机器人末端对外施加的作 用力为F3，求各关节驱动力矩。 解：
1 l1s2 f x l1c2 f y l2 f y 2 l2 f y
16:31
i 1 i
P ：表示坐标系{i+1}的原点相对于坐标系{i}的表示。
机器人研究所
5
第1节 机器人静力学
1. 连杆的受力和平衡方程