2020年初三上学期期末几何综合1西城. △ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0 ＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段BQ的中点，连接PM. 写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有1MP AP，=2并说明理由．图1 备用图2东城区．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．图1图23朝阳．已知∠MON=120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA=OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA. 将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA´，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA´交于点D.(1)根据题意补全图1；(2)求证：①∠OAC=∠DCB；②CD =CA （提示：可以在OA 上截取OE =OC ，连接CE ）；(3)点H 在线段AO 的延长线上，当线段OH ，OC ，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点C 都有∠DCH =2∠DAH ，写出你的猜想并证明.4大兴区.已知：如图，B,C,D 三点在⨀A 上，︒=∠45BCD ，PA 是钝角△ABC 的高线，PA 的延长线与线段CD 交于点E. (1) 请在图中找出一个与∠CAP 相等的角，这个角是 ；(2) 用等式表示线段AC ，EC ，ED 之间的数量关系，并证明.备用图图1NMA5石景山区．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ． （1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：BF DF ⊥；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间 的数量关系，并证明．6丰台区．如图，∠90MAN =︒，B ，C 分别为射线AM ，AN 上的两个动点，将线段AC 绕点A 逆时针．．．旋转30︒到AD ，连接BD 交AC 于点E ．（1）当∠ACB =30°时，依题意补全图形，并直接写出DE BE的值；（2）写出一个∠ACB 的度数，使得12DE BE=，并证明．FEP DC BA7顺义区．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 边上运动，从点A 出发向点D 运动，到达D 点停止运动．作射线CE ，并将射线CE 绕着点C 逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB 边交于点F ，连接EF . （1） 依题意补全图形；（2） 猜想线段DE ，EF ，BF 的数量关系并证明；（3） 过点C 作CG ⊥EF ，垂足为点G ，若正方形ABCD 的边长是4，请直接写出点G 运动的路线长．（备用图）8平谷区．如图，正方形ABCD ，将边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BE ，连接AE ，CE ．（1）求∠BAE 的度数；（2）连结BD ，延长AE 交BD 于点F ．①求证：DF=EF ；②直接用等式表示线段AB ，CF ，EF 的数量关系．CBCB9昌平区。

已知等边∠ABC，点D为BC上一点，连接AD.（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明.10通州ABDC DCBA11门头沟．如图，∠MON=60°，OF平分∠MON，点A在射线OM上，P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．（1）依题意补全图形；（2）判断线段AB，PB之间的数量关系，并证明；（3）连接AP，设APk OQ，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．备用12房山区.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点B为圆心、1为半径作圆，设点M为⊙B上一点，线段CM绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CN，连接BM、AN．（1）在图27-1中，补全图形，并证明BM＝AN .（2）连接MN，若MN与⊙B相切，则∠BMC的度数为________________.（3）连接BN，则BN的最小值为___________；BN的最大值为___________27-1 备用图备用图OMNFOMNF13密云区.已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段B C上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接E C．（1）如图1，若点M在线段BD上．①依据题意补全图1；②求∠MCE的度数．（2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关系．14海淀．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1, 记∠ABC=α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为_____________；（2）如图2，当α=45°，且43BD 时, 求证：PD=PQ；（3）设BC = t, 当PD=PQ时，直接写出BD的长.（用含t的代数式表示）图1图 1A1西城.．解：（1）如图．当BQ ∥AP 时，n = 60． （2）n = 120．证明：延长PM 至N ，使得MN =PM ，连接BN ，AN ，QN ，如图．∵ M 为线段BQ 的中点， ∴ 四边形BNQP 是平行四边形． ∴ BN ∥PQ ，BN=PQ ． ∴ ∠NBP =60°．∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB=AC ，∠ABC =∠ACB = 60°． ∴ ∠ABN =∠ACP =120°．∵ 以P 为中心，将线段PC 逆时针旋转120°得到线段PQ ， ∴ PQ =PC ． ∴ BN =PC ． ∴△ABN ≌△ACP ． ∴∠BAN =∠CAP ，AN=AP ． ∴∠NAP =∠BAC = 60°． ∴ △ANP 是等边三角形． ∴ PN =AP ．又 MP =PN ， ∴ MP =AP ． ······························································· 7分2东城．解：（1）①依题意，补全图形，如图1所示.猜想：∠BAE =∠BCD. 理由如下：∵CD ⊥AB ,AE ⊥BC ，1212∴∠BAE﹢∠B=90°,∠BCD﹢∠B=90°.∴∠BAE=∠BCD.…………………………2分图1②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.连接DF.∵∠BAC=45°,CD⊥AB,∴△ACD是等腰直角三角形.∴AD=CD.又∠BAE=∠BCD,∴△ADF≌△CDE（SAS）.∴DF=DE, ∠ADF=∠CDE.∵AB⊥CD, 图2∴∠ADF﹢∠FDC=90°.∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.∴△EDF是等腰直角三角形.2.∴EF=DE∵AF+EF=AE,∴CE+√2DE=AE.…………………………5分（3）依题意补全图形，如图3所示.线段AE，CE，DE的数量关系：CE-√2DE=AE.……………………………7分3朝阳．（1）解：补全图形，如图.（2）证明：①根据题意∠ACD=120°.∴∠DCB+∠ACO=60°.∵∠MON=120°，∴∠OAC +∠ACO=60°.∴∠OAC=∠DCB.②在OA上截取OE=OC，连接CE.∴∠OEC=30°.∴∠AEC=150°.∴∠AEC=∠CBD.∵OA=OB，∴AE=BC.∴△AEC≌△CBD.∴CD=AC.(3) OH-OC= OA.证明：在OH上截取OF=OC，连接CF，∴△OFC 是等边三角形，FH=OA.∴CF=OC，∠CFH=∠COA=120°.∴△CFH≌△COA.∴∠H=∠OAC.∴∠BCH=60°+∠H =60°+∠OAC.∴∠DCH=60°+∠H +∠DCB=60°+2∠OAC.∵CA=CD，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°.∴∠DCH=2∠DAH.4大兴.（1）∠CDB………………………………………………………………………1分（2）AC，EC，ED满足的数量关系：EC2+ED2=2AC2. …………………………2分证明：连接EB ，与AD 交于点F ∵点B ，C 两点在⊙A 上, ∴AC=AB ， ∴∠ACP =∠ABP .∵PA 是钝角△ABC 的高线, ∴PA 是△CAB 的垂直平分线. ∵PA 的延长线与线段CD 交于点E ，∴EC=EB . ……………………………………………………………………………3分 ∴∠ECP =∠EBP .∴∠ECP—∠ACP =∠EBP —∠ABP . 即∠ECA =∠EBA . ∵AC=AD ， ∴∠ECA =∠EDA ∴∠EBA=∠EDA∵∠AFB =∠EFD , ∠BCD =45°, ∴∠AFB+∠EBA =∠EFD+∠EDA=90°即∠BAD =∠BED =90°……………………………………………………4分 ∴EB 2+ED 2=BD 2. ……………………………………………………6分 ∵BD 2=2AB 2， ∴EB 2+ED 2=2AB 2，∴E C 2+ED 2=2AC 2…………………………………………………………7分5石景山．（1）45α+°； ………………………… 2分（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形，如图1． ∴90BAD ∠=°，AB AD =． ∵点E 与点B 关于直线AP 对称， ∴3ABF ∠=∠，AE AB =． ∴AE AD =． ∴12∠=∠． ∵23180∠+∠=°，∴在四边形ABFD 中，1180ABF ∠+∠=°． ∴180BFD BAD ∠+∠=°． ∴90BFD ∠=°．321FEP DCBA图1∴BF DF ⊥． ………………………… 4分 （3）线段，BF ，CF 之间的数量关系为：2AF BF CF =+．………………………… 5分 证明：过点B 作BM BF ⊥交AF 于点M ，如图2． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB CB =，90ABC ∠=°． ∴4CBF ∠=∠．∵点E 与点B 关于直线AP 对称，90BFD ∠=°， ∴45MFB ∠=°．∴BM BF =，2FM BF =． ∴AMB △≌CFB △． ∴AM CF =． ∵AF FM AM =+，∴2AF BF CF =+． ………………………… 7分6丰台.解：（1）正确补全图形；………………1分3DE BE =． ………………3分（2）解：∠45ACB =︒． ……………………………………………………4分证明：∵45ACB ∠=︒，∴AB AC =． ∵AC AD =，∴AB AD =． ……………………………………………………………5分 过点D 作DF AC ⊥于点F ，∴90DFE ∠=︒∵30CAD ∠=︒，∴1122DF AD AB ==．∵90BAE ∠=︒，∴90DFE BAE ∠=∠=︒． ∵FED ∠=∠AEB ． ∴△FED ∽△AEB ． ∴12DE DF BE AB ==． …………………………………………………………7分7顺义．解：（1）补全图形如图1． …………………………………………… 1分AF 图24321MFEP DC B AM N A B CDEFF BC D E A F BC D E A图1 图2（2）线段DE ，EF ，BF 的数量关系是 EF=DE+BF ．……… 2分 证明：延长AD 到点H ，使DH=BF ，连接CH （如图2）． 易证△CDH ≌△CBF ．∴CH= CF ，∠DCH =∠BCF ． ∵∠ECF =45°，∴∠ECH =∠ECD +∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°． ∴∠ECH =∠ECF =45°． 又∵CE= CE ，∴△ECH ≌△ECF ． ∴EH= EF ．∴EF=DE+BF ． …………………………………………… 6分（3）点G 运动的路线长为 2π ． ……………………… 7分8平谷．解：（1）补全图形如图1． …………………………………………… 1分图1 图2（2）线段DE ，EF ，BF 的数量关系是 EF=DE+BF ．……… 2分 证明：延长AD 到点H ，使DH=BF ，连接CH （如图2）． 易证△CDH ≌△CBF ．∴CH= CF ，∠DCH =∠BCF ． ∵∠ECF =45°，∴∠ECH =∠ECD +∠DCH= ∠ECD +∠BCF =45°． ∴∠ECH =∠ECF =45°． 又∵CE= CE ，∴△ECH ≌△ECF ． ∴EH= EF ．∴EF=DE+BF ． …………………………………………… 6分（3）点G 运动的路线长为 2π ． ……………………… 7分9昌平.（1）补全图形. ………………………………………………………… 1分∠APE =60° ……………………………………………………………… 2分（2）补全图形.………………………………………………………………3分CD AQ 21= ..………………………………………………………………4分证明：在∠ABD 和∠BEC 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=CE BD C ABD BCAB 60 ∴∠ABD ∠∠BEC （SAS ） ∴∠BAD =∠CBE .∵∠APE 是△ABP 的一个外角，∴∠APE =∠BAD +∠ABP =∠CBE +∠ABP =∠ABC =60°.∠AF 是由AD 绕点A 逆时针旋转120°得到， ∠AF =AD ，∠DAF =120°. ∠∠APE =60°， ∠∠APE +∠DAP =180°.∠AF ∠BE...……………………………………………………………………………………………5分 ∠∠1=∠2∵∠ABD ∠∠BEC ， ∠AD =BE . ∠AF =BE .在∠AQF 和∠EQB 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BE AF EQBAQF 21 ∠AQF ∠∠EQB （AAS ）∠AQ =QE ..……………………………………………………………………………………………6分 ∠AE AQ 21=∠AE =AC －CE ，CD =BC －BD ， 且AE =BC ，CD =BD .∠AE =CD ...……………………………………………………………………………………………7分 ∠CD AQ 21=10通州11门头沟．（本小题满分7分）（1）补全图形正确．………………………………1分 （2）AB =PB ．………………………………………2分证明：如图，连接BQ ．∵BC 的垂直平分OQ ，∴ OB =BQ ，……………………3分 ∴∠BOP =∠BQP ． 又∵ OF 平分∠MON ， ∴∠AOB = ∠BOP ．∴∠AOB = ∠BQP ．…………4分 又∵PQ=OA ， ∴ △AOB ≌△PQB ，…………………………………………………………5分∴AB =PB ．（3）12k =．………………………………………………………………………………7分 12房山.（1）如图27-1，补全图形 …………1分证明：⸪∠ACB ＝∠MCN ＝90°∴∠MCB ＝∠NCA …………2分 ⸪CM ＝CN ，CB ＝CA ∴△MCB ≌△NCA∴BM ＝AN …………3分图27-1（2） 45°或135° …………4分（3） 1 ； 3 …………6分13密云. (1) ① 补全图1：………………………………2分② 解：过点M 作BC 边的垂线交CA 延长线于点F ∴ ∠FMC =90° ∴ ∠FMA+∠AMC=90°∵将线段AM 绕点M 顺时针旋转90°，得到线段ME ∴∠AME=90°∴ ∠CME+∠AMC=90°∴∠FMA= ∠CME………………………………3分在Rt △FMC 中,∠FCM=45°∴∠F=∠FCM=45° ∴FM=MC………………………………4分在△FMA 和△CME 中∴∴ ∠MCE=∠F=45° ……………5分（2）AC CE -=……………7分14海淀．（1）解：①补全图形如下图所示.② PQ =2.（2）作PF BQ ⊥于F ，AH PF ⊥于H .∵PA AD ⊥, ∴∠PAD =90°.FM MCFMA CME AM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩FAM CME ∆≅∆由题意可知∠1=45°. ∴2901451∠=︒-∠=︒=∠. ∴PA AD =. ∵90ACB ∠=︒, ∴90ACD ∠=︒∵AH PF ⊥，PF BQ ⊥， ∴90AHP AHF PFC ∠=∠=∠=︒. ∴四边形ACFH 是矩形. ∴90,CAH AH CF ∠=︒=. ∵90,CAH DAP ∠=∠=︒∴3490DAH DAH ∠+∠=∠+∠=︒. ∴34∠=∠.又∵90,ACD AHP ∠=∠=︒ ∴ACD AHP ≌△△. ∴1AH AC ==. ∴1CF AH ==.∵4,1,3BD BC == B ，Q 关于点D 对称，∴14,.33CD BD BC DQ BD =-===∴21.32DF CF CD DQ =-== ∴F 为DQ 中点. ∴PF 垂直平分DQ . ∴PQ =PD .（3）2223t BD t+=.。