光栅衍射的半波带分析法XXX（08010440）（东南大学自动化学院，南京 211189）摘要：本文用半波带法对光栅衍射进行分析，该方法和常用的振幅矢量法相比，分析衍射条纹的位置更要快捷，明了。
关键词：光栅衍射；半波带法；单缝衍射THE ANALYSIS OF GRATING DIFFRACTION BY HALF-WAVE ZONE METHODLi Shuangquan(School of automation, Southeast University, Nanjing , 211189)Abstract: The author shows that using the half-wave zone method to deduce the the bright and dark fringe conditions of grating diffraction is simpler than the amplitude vector method.key words: Grating diffraction; half-wave zone method; single-slit diffraction菲涅耳把惠更斯提出的次波概念和杨氏提出的干涉原理结台起来认为次波是相干的。
建立了惠更斯—菲涅耳原理，这是从光的波动性出发关于光传播规律的普遍原理。
它可以表示为标量积分的形式。
定量地研究衍射现象。
但积分常常比较复杂实际问题中常常采用简便的近似方法。
半波带法是菲涅耳提出的一种简便方法。
所谓半波带法，实际上是在惠更斯-菲涅尔原理的基础上，首先将辅助面取为波阵面。
使各次波源振动位相相同。
然后把波阵面分割为有限个带，将无限多个无限小量的求和(积分)化为有限多个有限大量的求和。
分割的方法是使相邻带的整个边缘的相应线作者：XXX，1991年，男，大学本科，996586112@ 段到所考虑那点的光程差为2，所以称为半波带法。
半波带法的形状可以根据问题的需要灵活选取，各带的面积也可以不相等。
半波带法能够定性地分析各种衍射现象。
本文用它对单缝，特别是多缝夫琅禾费光栅衍射进行分析。
1 半波带法分析单缝衍射单缝衍射可以用半波带法进行分析，如图1，AB为单缝的截面，缝的宽度为a，设平面单色光垂直射入单缝，按照惠更斯-菲涅尔原理，AB上的各点都可以看成是子波波源，它们发出的子波到达空间某处时，会叠加产生干涉。
首先考虑沿入射方向传播的各子波波线，它们经过透镜会聚于焦点O ，由于AB 是同相面，所以这些子波的相位是相同的，它们经过透镜后不会引起附加的光程程差，所以它们在O 点会聚时仍然保持相同的相位，因而相互加强，这样在正对狭缝中心的屏幕O 处所呈现的是明纹，称为中央明纹。
图1 单缝衍射然后再研究其他方向上的子波波线，与入射 方向成θ角的子波波线 ， θ叫衍射角，沿衍射角方向的平行光经透镜会聚于屏幕上的P 点，P 点的明或暗取决于AB 波面上无数子波传到P 处彼此 干涉的结果。
如图2所示，如果过B 作一波面BC ，BC 垂直AC ，则由于BC 上各点到P 点的光程都相同，那么波面AB 上各点到达P 点的光程差就等于波面AB 到波面BC 之间的光程差。
各光束之间的最大光程差就是单缝两端边缘处的两条光线的光程差 AC ：θsin a ，显然，衍射角不同，最大光程差也就不同。
为了能简便的确定 AB 上各子波在P 处相干叠加的结果，菲涅耳提出了半波带法，它是用一些相距为2λ的平行于BC 的平面来分割AC ，从而也就将单缝处的波面AB 分割成一些面积相 等的部分(即半波带)，这些半波带的特点是 ：各带 的面积相等，子波数目也相等，各带在P 点引起的光振动的振幅也近似相等；在两个相邻波带上 ，对应点沿方向发出的两平行相干光在 P 点的光程差为2λ(即相位差为π)。
图2 半波带P 处的明或暗就取决于最大光程差AC 。
如果AC 恰好是2λ的偶数倍，则单缝处波面分为偶数个 半波带，由于相邻两半波带的对应点上发出的光线的光程差均为2λ，彼此干涉相消，这样一对对相邻半波带发出的光都分别在P 点相互干涉抵消，所以 P 点是暗条纹中心；如果AC 恰好是2λ的奇数倍，则单缝处波面分为奇数个半波带，那么一对对相 邻半波带发出的光分别在P 点相互干涉抵消后，还剩一个半波带发出的光到达P 点，这时P 点应是 明条纹中心；如果AC 不能恰好被2λ所平分，即对 于任意衍射角 θ，AB 一般不能恰好分成整数个半波带，则P 点的光强介于最明和最暗之间。
综上所述，当平行光垂直于单缝入射时，单缝夫琅禾费衍射的明暗纹条件为： 暗条纹中心条件：λλθk ka ±=±=22sin k=1,2,3,……明条纹中心条件：2)12(sin λθ+±=k a k=1,2,3,……中央明条纹中心θ=0。
2 用半波带法分析光栅衍射2.1 光栅的结构及光栅衍射的发生原理在以上用半波带法分析单缝衍射的基础上，尝试用半波带法分析光栅衍射现象。
如图3，光栅的透光部分宽度为a ，不透光不分宽度为b ，则光栅常数d=a+b 。
N 表示光栅总缝数。
平面单色光垂直入射到光栅表面上时，每一条狭缝都要产生衍射，而缝与缝之间透过的光又要产生干涉，因此用透镜把光束会聚到屏幕上时，就会出现光栅衍射条纹。
图3 光栅衍射2.2 每一条狭缝的单缝衍射平行单色光垂直射入光栅时，透过每一条小狭缝的光都要产生衍射现象。
应用单缝衍射的半波带分析法有 暗条纹中心条件：λλθk ka ±=±=22sin k=1,2,3,……明条纹中心条件：2)12(sin λθ+±=k a k=1,2,3,……中央明条纹中心θ=0。
对应的光强分布曲线如图4中a 曲线所示。
图4 光栅衍射的光强分布的分解与合成2.3 多缝干涉确定主极大条纹由以上论述可知射出小狭缝的光强度随着衍射角θ的变化而变化。
现在假设从小狭缝中射出来的光线强度是恒定的，不随衍射角θ变化。
当每两条相邻狭缝发出的光束光程差而半波长的偶数倍，则N 个狭缝的光束在屏上P 点干涉加强，合振动振幅最大，形成明纹，即λλθk kd ±==22sin k=1,2,3……上式称为光栅公式。
同这些明纹相应的光强的极大值叫做主极大。
如图4 中b 曲线的波峰所示。
2.4 将整个光栅等效成一条大的单缝将整个光栅看成一个大的单缝，则缝宽为Nd 。
虽然这样取的辅助面有交替的透光和不透光部分组成但由于其结构的周期性，不影响暗纹条件的分析结果。
所以可以将整个光栅等效成一个大的单缝并应用半波带发进行分析。
由半波带法知，光栅衍射暗条纹条件为：λλθk kNd ==22sin k=1,2…N-1，N+1，N+2，…2N-1，2N+1,2N+2……由此可知在2.3中所示的没两条相邻的主极大明纹之间有N-1条暗纹，而两个暗纹之间光强不为零，但由于在这些区域从各缝发出的光叠加时总有许多缝的光干涉相消，所以这些位置光强比主极大要小得多，称为次极大。
次极大明纹中心可由等效单缝衍射求出，如下所示：2)12(sin λθ+±=k Nd k=1,2…N-2，N+2，N+3，…2N-2，2N+2，2N+3……由此可知每相邻主极大之间有N-2个次极大，次极大很弱，N 数目很大时，光栅衍射的暗纹和次极大 已连成一片，所以两主极大之间是一片暗区，主极 大明条纹分得很开很细，由于光强集中在窄小的区 域内，条纹很亮。
所以如图4中b 曲线所示，没两条主极大之间有一段光强很弱几乎为零的区域，就是暗纹和次极大的区域。
由2.3和2.4得出的图4中b 曲线，是在假设从小狭缝中射出来的光线强度恒定的条件下得出来的。
而实际上，由2.1可知，每条缝发的光由于衍射，在不同的方向的强度是不同的。
多光束干涉和整个光栅的等效单缝衍射和每一条小狭缝的单缝衍射共同决定的光栅衍射的光强分布如图5中c 所示。
光栅衍射强度分布中保留了单缝衍射的痕迹，那就是曲线的外部“轮廓”与单缝衍射强度分布曲线的形状一样，光栅衍射是小狭缝的单缝衍射和整个光栅的等效单缝衍射和多缝干涉的总效果。
2.5 缺级现象如果某一衍射角满足光栅公式，而又恰好满足小狭缝的单缝衍射的暗纹公式，这时，因为从各个缝所发出的光波都已各自满足暗纹条件，在此方向根本没有衍射光射来，当然就谈不上缝与缝之问的干涉加强作用了，所以按光栅公式应该出现明条纹，实际上并不会出现，这种单缝衍射对多缝干涉调制的特殊结果叫缺级现象，则λθk d ±=sin k=0，1，2，…… λθ'sin k a ±= k'=0，1，2，……缺级的级次为'k adk =。
2.6 最终综合结果经过以上分析，综合小狭缝的单缝衍射和整个光栅的等效单缝衍射和多缝干涉的综合效应后，得出的清晰的光栅衍射光强分布曲线如图5所示。
图5 光栅衍射光强分布图由此图可以看出一些简单结论：各级主极大明纹（包括中央明纹）的角宽度为Ndλδθ2=各级次极大明纹角宽度为Ndλδθ=相邻主极大明纹间的角距离为dk k λθθ=-+s i n s i n 13 结论在半波带法分析单缝衍射的基础上，光栅衍射 亦采用半波带法分析是可行的简化方法，用半波带法分析得出光栅衍射条纹的分布特点，相比常用的振幅矢量法较易于理解。
半波带法分析衍射条纹的位置更要快捷、直观和明了。
半波带法是一种简便的方法，可以作很多定性分析，并且能够突出相干概念，形象直观，又能得到某些定量的结果。
参考文献：[1] 马文蔚，解希顺，周雨青， 物理学，第5版，北京：高等教育出版社，2006[2] 马文蔚，陈国庆，陈健等，物理学（第五版）学习指导，北京：高等教育出版社，2006[3]Hugh D. Young, Roger A. Freedman, Sears and Zemansky's University Physics. 北京：机械工业出版。