习题七一、选择题1．在单缝衍射实验中，缝宽a = 0.2mm ，透镜焦距f = 0.4m ，入射光波长λ= 500nm ，则在距离中央亮纹中心位置2mm 处是亮纹还是暗纹？从这个位置看上去可以把波阵面分为几个半波带？ [ ]（A ）亮纹，3个半波带； （B ）亮纹，4个半波带； （C ）暗纹，3个半波带； （D ）暗纹，4个半波带。

答案：D解：沿衍射方向，最大光程差为336210sin 0.21010m=1000nm=20.4x a a f δθλ---⨯=≈=⨯⋅=，即22422λλδ=⨯⋅=⋅。

因此，根据单缝衍射亮、暗纹条件，可判断出该处是暗纹，从该方向上可分为4个半波带。

2．波长为632.8nm 的单色光通过一狭缝发生衍射。

已知缝宽为1.2mm ，缝与观察屏之间的距离为D =2.3m 。

则屏上两侧的两个第8级极小之间的距离x ∆为 [ ]（A ）1.70cm ； （B ）1.94cm ； （C ）2.18cm ； （D ）0.97cm 。

答案：B解：第 k 级暗纹条件为sin a k θλ=。

据题意有2tan 2sin 2k x D D Daλθθ∆=≈= 代入数据得9238632.8102 2.3 1.9410m=1.94cm 1.210x ---⨯⨯∆=⨯⨯=⨯⨯3．波长为600nm 的单色光垂直入射到光栅常数为2.5×10-3mm 的光栅上，光栅的刻痕与缝宽相等，则光谱上呈现的全部级数为 [ ]（A ）0、±1、±2、±3、±4； （B ）0、±1、±3； （C ）±1、±3； （D ）0、±2、±4。

答案：B解：光栅公式sin d k θλ=，最高级次为3max 62.510460010dk λ--⨯===⨯（取整数）。

又由题意知缺级条件2a bk k k a+''==，所以呈现的全部光谱级数为0、±1、±3（第2级缺，第4级接近90º衍射角，不能观看）。

4．用白光（波长范围：400nm-760nm ）垂直照射光栅常数为2.0×10-4cm 的光栅，则第一级光谱的张角为 [ ]（A ）9.5； （B ）18.3； （C ）8.8； （D ）13.9。

答案：C解：光栅方程sin d k θλ=。

111,sin k dλθ-==。

91111640010400nm,sinsin sin 0.179.52.410v v v d λλθ-----⨯=====︒⨯ 91111676010760nm,sin sin sin 0.3218.32.410rr r d λλθ-----⨯=====︒⨯第一级光谱张角：1118.8r v θθθ∆=-=︒5．欲使波长为（设为已知）的X 射线被晶体衍射，则该晶体的晶面间距最小应为 [ ]。

（A ）/4； （B ）2； （C ）； （D ）/2。

答案：D解：由布拉格公式2sin d k θλ=，得2sin k d λθ=由此可见，当1, 2k πθ==时，min d d =。

所以min 2d λ=二、填空题1．在单缝夫琅和费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小。

若以钠黄光(1＝589nm)为入射光，中央明纹宽度为4.0mm ；若以蓝紫光(2＝442nm)为入射光，则中央明纹宽度为________mm 。

答案：3mm 。

解：单缝衍射中央明纹宽度为122y y f aλλ∆==⋅∝，所以，1122y y λλ∆=∆ 由此得22114424.03mm 589y y λλ∆=∆=⨯=2．单色光1λ=720nm 和另一单色光2λ经同一光栅衍射时，发生这两种谱线的多次重叠现象。

设1λ的第1k 级主极大与2λ的第2k 级主极大重叠。

现已知当1k 分别为2, 4, 6,,时，对应的2k 分别为3, 6, 9,,。

，则波长2λ= nm 。

答案：480nm 。

解：在主极大重叠处，两谱线的衍射角相等，即1122)sin a b k k θλλ+==（ 所以1212k k λλ=由题意知1223k k = 由此求得1211222720480nm 33k k λλλ===⨯=3．为测定一个光栅的光栅常数，用波长为632.8nm 的单色光垂直照射光栅，测得第一级主极大的衍射角为18°，则光栅常数d =_________；第二级主极大的衍射角 =_______。

答案：2047.8nm ；38.3︒解：光栅方程sin d k θλ=，1632.8632.81,2047.8nm sin sin180.309k d λθ=====︒； 222632.8arcsinarcsin arcsin0.6238.32047.8d λθ⨯===≈︒4．一宇航员声称，他恰好能分辨他下方距他为H =160km 的地面上两个发射波长550nm 的点光源。

假定宇航员的瞳孔直径D =5.0mm ，则此两点光源的间距为x ∆= m 。

答案：21.5m 。

解：最小分辨角为 1 1.22Dλθ=又根据题意有1x Hθ∆=所以93131.2255010160101.2221.5m 510Hx H D λθ--⋅⨯⨯⨯⨯∆====⨯5．在比较两条单色X 射线谱线波长时，注意到谱线A 在与某种晶体的光滑表面成30的掠射角时出现第1级反射极大。

谱线B （已知具有波长0.097nm ）则在与同一晶体的同一表面成60的掠射角时出现第3级反射极大，则谱线A 的波长为A λ= nm ；晶面间距为d =nm 。

答案：0.17nm ；0.168nm 。

解：设谱线A 的波长为A，谱线B 的波长为B，按给定条件，由布拉格公式有A d λ⨯=︒130sin 2，B d λ⨯=︒360sin 2将两式相除得3160sin 30sin 3=︒︒=B A λλ所以30.17nm 3A B B λλλ===晶面间距30.0970.168nm 2sin 2sin B B A A B Ak k d λλθθ===⨯=三、计算题1．波长为600nm 的单色光垂直照射到一单缝宽度为 0.05mm 的光栅上，在距光栅2m 的屏幕上，测得相邻两条纹间距0.4cm x ∆=。

求：（1）在单缝衍射的中央明纹宽度内，最多可以看到几级，共几条光栅衍射明纹？（2）光栅不透光部分宽度b 为多少？ 答案：（1）最多可以看到第5级，共11条明纹；（2）0.25mm 。

解：（1）单缝衍射中央明纹的半角宽度11sin aλϕϕ≈=中央明纹在屏上的半宽度为71526100.024m=2.4cm 510f f a λρϕ--⨯⨯≈⋅=⋅==⨯单缝衍射中央明纹宽度内干涉亮纹的最高级次m 6k xρ==∆ 而该最高级次的衍射方向正好与单缝衍射第一级暗纹方向相重，为缺级，所以最多可以看到第5级明纹。

即在单缝衍射中央明纹宽度内可观察到01,2,3,4,5±±±±±,共11条明纹。

（2）由缺级公式a bk k a+'=，据题意知：当1k '=时，m 6k k ==，所以 660.050.3mm d a b a =+==⨯= 0.30.050.25mm b d a =-=-=2．在复色光照射下的单缝衍射图样中，某一波长单色光的第3级明纹位置恰与波长=600nm 的单色光的第2级明纹位置重合，求这光波的波长。

答案：428.6nm 。

解：设所求波长为λ'，则根据单缝衍射明纹条件得()()sin 212122a k k λλθ''=+=+将3, 600, 2k k λ'===代入得()()23122122λλ'⨯+=⨯+ 75λλ'=55600nm=428.6nm 77λλ'==⨯3．波长为680nm 的单色可见光垂直入射到缝宽为41.2510cm a -=⨯的透射光栅上，观察到第四级谱线缺级，透镜焦距1m f =。

求：（1）此光栅每厘米有多少条狭缝；（2）在屏上呈现的光谱线的全部级次和条纹数。

答案：（1）2000条；（2）屏上出现01,2,3,5,6,7±±±±±±,级，共13条明纹。

解：（1）缺级公式为a bk k a+'=，根据题意知，当1k '=时，4k =。

所以光栅常数 44510cm a b a -+==⨯狭缝数 4112000510N a b -===+⨯（条/厘米） （2）由光栅公式()sin a b k θλ+=得()sin a b k θλ+=。

2πθ=对应于最高衍射级次max k 。

将680nm λ=代入，得6max 7()5107.376.810a b k λ--+⨯====⨯（向前取整数）所以在屏上出现的光谱级数为01,2,3,5,6,7±±±±±±,，可看到共13条明纹。

4．波长为400nm~760nm 范围的一束复色可见光垂直入射到光栅常数44.810cm d -=⨯的透射光栅上，在屏上形成若干级彩色光谱。

已知透镜焦距 1.2m f =。

求：（1）第二级光谱在屏上的线宽度；（2）第二级与第三级光谱在屏上重叠的线宽度。

答案：（1）19.7cm ；（2）9cm 。

解：由光栅公式sin d k θλ=得第k 级衍射角arcsink k dλθ= 可见光为连续光谱，其最短波长和最长波长分别为min 400nm λ=和max 760nm λ=，因此其第k 级光谱分布的角宽度为max min k k k θθθ∆=-第k 级光谱在焦平面上的线宽度为max min max min tan tan k k k k k y y y f f θθ∆=-=⋅-⋅式中，max min max min arcsin , arcsin k k k k d dλλθθ==分别为同一级光谱中最长和最短波长的衍射角。

（1）令2k =，即可由上式算出第二级谱线宽度()()22max 2min tan tan 120.3330.1690.197m=19.7cm y f θθ∆=-=⋅⨯-=（2）当第三级光谱最短波长的衍射角3min θ小于第二级光谱最长波长的衍射角2maxθ时，将发生第二级与第三级光谱的重叠。

其重叠的线宽度为()2max 3min tan tan L f θθ∆=-令3k =，可解得3min tan 0.258θ=，所以()()2max 3min tan tan 120.3330.2580.09m=9cm L f θθ∆=-=⋅⨯-=计算提示：令max k A d λ=，min k B dλ=，则max min arcsin , arcsin k k A B θθ==。