二次函数的图像和性质
二次函数的性质
例1. 关于抛物线2
21y x x =--，下列说法错误的是( )
A . 顶点坐标为()1,2-
B . 与y 轴的交点坐标为()0,1-
C . 抛物线上两点()()121,4,A y B y -和，则有12y y <
D . 当x ＞1时，y 随x 的增大而减小
1. 已知函数y ＝－x 2
－2x ，当________时，函数值y 随x 的增大而增大．
2. 抛物线2
21219y x x =-+的顶点坐标是( )
A. (3，1)
B. (3，－1)
C. (－3，1)
D. (－3，－1)
3. 2＋bx ＋c (a ≠0)图象上部分点的坐标(x ，y )对应值列表如下：
则该函数图象的对称轴是( ) A. 直线x ＝－3 B. 直线x ＝－2 C. 直线x ＝－1 D. 直线x ＝0
函数平移
例2. 已知抛物线y ＝x 2
－4x ＋3与x 轴相交于点A ，B (点A 在点B 左侧)，顶点为M ，平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M ′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B ′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )
A. y ＝x 2＋2x ＋1
B. y ＝x 2
＋2x －1
C. y ＝x 2－2x ＋1
D. y ＝x 2
－2x －1
1. 要将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3平移后得到抛物线y ＝x 2
，下列平移方法正确的是( ) A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位
2. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°
得到抛物线y ＝x 2
＋5x ＋6，则原抛物线的解析式是( )
A. y ＝－(x －52)2－114
B. y ＝－(x ＋52)2－11
4
C. y ＝－(x －52)2－14
D. y ＝－(x ＋52)2＋1
4
3. 已知正方形ABCD 中A (1，1)、B (1，2)、C (2，2)、D (2，1)，有一抛物线y ＝(x ＋1)2
向下平移m 个单位(m >0)与正方形ABCD 的边(包括四个顶点)有交点，则m 的取值范围是________．
函数图像与系数,,a b c 的关系
例3、二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ()0a ≠的图象如图所示，有下列9个结论①0abc >；②a
＋c ＞b ；③2a ＋b=0；④0a b c ++>；⑤23c b <；⑥()a b m am b +≥+；
⑦2
40b ac ->；⑧()2
2
a c
b +>；
⑨
3c
a
>-正确的是__________
1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2
；②a ＋c ＞b ；③2a ＋b ＞0.其中正确的有 ( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
2、如图是抛物线y 1＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的一部分图象，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点是B (4，0)，直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①abc
＞0；②方程ax 2
＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x ＜4时，有y 2＞y 1；⑤x (ax ＋b )≤a ＋b ，其中正确的结论是__________.(只填写序号)
3. (2013长沙10题3分)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系式错误．．的是( )
A . a ＞0
B . c ＞0
C . b 2－4ac ＞0
D . a ＋b ＋c ＞0
4、已知二次函数2
y ax bx c =++(a ≠0)的图象如图所示，现有下列结论：①b 2
－4ac >0；②abc >0；③c a
>－8；④ 9a ＋3b ＋c <0.其中，正确结论的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5、已知二次函数2
y ax bx c =++(a>0)经过点M (－1，2)和点N (1，－2)，交x 轴于点A ，
B ，交y 轴于点
C . 现有以下四个结论：①2b =-；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；
③存在实数a ，使得M ，A ，C 三点在同一条直线上；④若1a =，则OA ·OB ＝OC 2
.其中，正
确的结论有( )
A. ①②③④
B. ②③④
C. ①②④
D. ①②③
函数图像的判断
例4、已知直线y ＝bx －c 与抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 在同一直角坐标系中的图象可能是( )
1、在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b 与y=ax 2
-bx 的图象可能是
( )
2. (2014长沙10题3分)函数y ＝a x
与y ＝ax 2
(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
函数与不等式的关系
例5. 如图，直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 交于A (－1，p )，
B (4，q )两点，则关于x 的不等式mx ＋n >ax 2＋bx ＋c 的解集是____．
1、如图，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 都经过点A (1，0)
和B (3，2)，不等式x 2
＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为____________．
二次函数的最值
例6 已知二次函数y ＝x 2
－2mx (m 为常数)，当－1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为－2，则m 的值是( )
A. 32
B. 2
C. 32或 2
D. －3
2或 2
1、已知二次函数2
21y x x =-+
（1）若x 为任意实数，求函数的的最小值
（2）若12x ≤≤，求函数的的最大值和最小值
（3）若01x ≤≤，求函数的的最大值和最小值
（4）若20x -≤≤，求函数的的最大值和最小值
（5）若x 为整数，求函数的最小值
函数与方程的关系
例7、在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2
43y x x =-+与x 轴交于点A ，B (点A 在点
B 的左侧)，与y 轴交于点
C .
(1)求直线BC 的表达式；
(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线BC 交于点N(x 3，y 3)．若x 1＜x 2＜x 3，结合函数的图象，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．
1、已知关于x 的一元二次方程()2
510x k x k +-+-=，其中k 为常数．
(1)求证：无论k 为何值，方程总有两个不相等实数根；
(2)已知函数()2
51y x k x k =+-+-的图象不经过第三象限，求k 的取值范围；
(3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k 的最大整数值．
2、已知：二次函数2
2y ax bx =+-的图象经过点(1，0)，一次函数图象经过原点和点(1，－b )，其中a ＞b ＞0且a 、b 为实数．
(1)求一次函数的表达式(用含b 的式子表示)； (2)试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，求|x 1－x 2|的取值范围．。