• （5）a x 的原函数是 ax c ； ln a
• （6）sin x的原函数是 cos x c ；
• （7）cos x 的原函数是 sin x c ；
• （8） 1 的原函数是arcsin x c . 1 x2
• 3微积分基本定理
• 设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，若 F(x) 是 f (x) 在区间[a,b] 上的一个原函数，则
1
2 1
e2
e1
e2
e
.
随堂练习：P85 1.
x • 例2 计算 y sin x 在 [0， ]上与 轴所围成
平面图形的面积.
•
【解】
A
sin xdx
0
cos x
0
2
.
• 例3 汽车以每小时 36km的速度行驶，到某处 需要减速停车，设汽车以等加速度 a 5m s2
• 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了距离？
• （3） 积分区间的可加性
•
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
,(
acb
).
• （二）讲新课
• 1原函数的定义
• 设函数 f (x) 定义在某区间 I 上，如果存
在函数 F(x) 使得 xI 都有F(x) f (x) ，
那么称函数 F(x)为 f (x) 在区间 I 上的一
【解】因为当 t 0时， v0 10m / s；又
a 5m / s2. 所以 vt v0 at 10 5t ，
而停车时 vt 0，因此 t 2 .故
S
2
0 vtdt
2
(10 5t)dt 10
0
.
即刹车后，汽车需要走10m 才能停住 .
随堂练习： P86 7
小结：这节课主要讲原函数的定义，微积分 基本定理及运用.
作业： P85 A6
• （3） 2 cos xdx; 0
• （4） 2 exdx . 1
【解】（1）原式=
2
1 xdx 2 1 x2
0
2
1 0
12 02
1 .
（2）原式=
1 x3 3
1 0
1 (13 3
03) 1 3
.
（3）原式=
sin x
2 0
sin
2
sin 0 1
.
（4）原式=
2 exdx ex
• a x0 x1 x2 xi xn b，用 xi 表示
区间[xi1, xi ] (i 1,2, n) 的长度，记
,
在区间 [xi1, xi ]上任取一点 i ，作和
数
Sn
n
f
(i )xi ，若当(T )
0时，Sn
（I 有限
i 1
数），且 I 与分割 T 及 i 在区间[xi1, xi ] (i 1,2, n)
个原函数.
• 易知：f (x) 的所有原函数可以表示为 F(x) C （ C 为任意常数）.
• 2 常见基本初等函数的原函数表 • （1）1的原函数是 x c ；
• （2）x 的原函数是 1 x1+C( 1) ；
1
（3）1x 的原函数是 ln x c ； • （4）ex 的原函数是 ex c ；
上的选取无关，则称此极限为 f (x) 在区间 [a,b]
上的定积分，记为
b
I a f (x)dx
.
• 2定积分几何的意义
• 就是曲边梯形的面积.
• 3定积分的性质
•
（1）
b
a
kf
( x)dx
k
b
a
f
(x)dx（k为任意常数）;
b
b
b
• （2） a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx ;
第2节 微积分基本定理
乐安一中 王朝华
一.教学目的：使学生掌握微积分基本 定理，并运用求定积分 二．教学重点：应用微积分基本定理 计算微积分 三．教学难点：求一个函数的原函数 四．教学方法：讲练结合
• （一）复习提问 • 1定积分概念
(T ) Max{xi} 1in
• 设函数y f (x)定义在区间[a,b] 上，用分割T 将区间 [a,b]分成n个小区间，分点依次为
•
b a
f
( x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a)
.
• 上述公式是Newton —Leibniz公式，也称作
微积分基本公式.
• 注意： 定理的证明放到大学里去证，要用到 积上限函数
•
(x)
x
f (t)dt
,

a
x [a,b] .
例1 计算下列定积分：
• （1）
1
2xdx ;
0
• （2） 1 x2dx ; 0