的一个原函数．根据定义，求函数f(x)的原函数，就是要求一个函
数F(x)，使它的导数F′(x)等于f(x)．由于[F(x)＋c]′＝F′(x)＝f(x)，所
以F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．
(4)利用微积分基本定理求定积分
的关键是找出满足F′(x)
＝f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式
个结论叫做微积分基本定理
符号
f(x)dx＝F(x)ab ＝ F(b)－F(a)
2．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则 (1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)， 则
图(1)
图(2)
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)，
则bf(x)dx＝ －S下
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
[思路探索] 解答本题可先求被积函数的原函数；然后利用微积 分基本定理求解．
解 (1)因为(3x)′＝3，
所以
3dx＝(3x)12 ＝3×2－3×1＝3.
(2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3，
所以
(2x＋3)dx＝(x2＋3x)20
＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.
＝－cos
x＋12cos
2x30π
＝－12－14－－1＋12＝－14.
题型三 定积分的简单应用
【例 3】 已知 f(a)＝
(2ax2－a2x)dx，求 f(a)的最大值．
[思路探索] 求2ax2－a2x的原函数 → 求fa →
利用二次函数性质求最值
解 ∵23ax3－12a2x2′＝2ax2－a2x，
题型二 求较复杂函数的定积分 【例 2】 求下列定积分：
[ 思 路 探 索 ] 化简被积函数 → 转化为基本函数的积分 → 求原函数 → 求定积分
解 (1)∵ x(1－ x)＝ x－x，
【变式 2】 计算下列定积分：
解 (1)sin x－sin 2x 的一个原函数是－cos x＋12cos 2x，
和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
3．常用的基本初等函数 f(x)和它的一个原函数 F(x)如下： (1)若 f(x)＝c(c 为常数)，则 F(x)＝cx；
(2)若 f(x)＝xn(n≠－1)，则 F(x)＝n＋1 1·xn＋1； (3)若 f(x)＝1x，则 F(x)＝ln x(x>0)； (4)若 f(x)＝ex，则 F(x)＝ex； (5)若 f(x)＝ax，则 F(x)＝ln 1 a·ax(a>0 且 a≠1)； (6)若 f(x)＝sin x，则 F(x)＝－cos x； (7)若 f(x)＝cos x，则 F(x)＝sin x.
．
a
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，
则bf(x)dx＝ S上－S下 ．若 S 上＝S 下，则bf(x)dx＝ 0 .
a
a
图(3)
想一想：在上面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积 分别怎样表示？ 提示 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：
名师点睛 1．微积分基本定理的理解
求f(x)在某个区间上的定积分，关键是求出被积函数f(x) 的一个原函数，即要正确运用求导运算与求定积分运算互为逆运 算的关系．
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①
又 f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0，
②
＝13a＋12b＋c，
Байду номын сангаас
∴13a＋12b＋c＝－2，
③
由①②③式得 a＝6，b＝0，c＝－4.
题型四 求分段函数的定积分 【例 4】 计算下列定积分：
(1)分段函数的定积分采用分段来求． (2)求带绝对值符号的函数的定积分，先去掉绝对值符号，然 后再分段求解．
(1)微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的联系，同时它也 提供了计算定积分的一种有效方法． (2)根据定积分的定义求定积分往往比较困难，而利用微积分基 本定理求定积分比较方便．
(3)设f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存在函数F(x)，在区间
I上的任意一点x处都有F′(x)＝f(x)，那么F(x)叫做函数f(x)在区间I上
(3)因为2x2－x33′＝4x－x2，
所以
(4x－x2)dx＝2x2－x333－1
＝2×32－333－2×－12－－313＝230.
(4)因为16x－16′＝(x－1)5， 所以 (x－1)5dx ＝16(x－1)612 ＝16(2－1)6－16(1－1)6 ＝16.
【变式1】 求下列定积分：
－4x，x<－32，
＝6，
－32≤x≤32，
4x， x>32，
误区警示 原函数求错而导致结果错误
【示例】 计算
1 xdx.
[错解] ∵(ln x)′＝1x，
∵ln(－1)、ln(－2)无意义， ∴此积分不能用初等函数表示．
被积函数的原函数求错． ∵积分区间为[－2，－1]，∴x<0， 因此有(ln|x|)′＝＝(ln(－x))′＝1x(x<0)．
即 f(a)＝23a－12a2＝－12a2－43a＋49＋29 ＝－12a－232＋29， ∴当 a＝23时，f(a)有最大值29.
【变式 3】 已知 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且 f(－1)＝2，f′(0)＝0，
f(x)dx＝－2，求 a、b、c 的值．
解 由 f(－1)＝2，得 a－b＋c＝2.
微积分基本定理
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 内容 F′(x)＝ f(x) ，那么∫baf(x)dx＝ F(b)－F(a) ．这
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
【变式 4】 求
(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
解 ∵|2x＋3|＋|3－2x|