1
cos
2xdx
2
1dx
2
cos 2xdx
0
0
2
02
02
1
2
1dx
1
2 cos 2xdx
1（
2 1dx
2 cos 2xdx）
20
20
20
0
1（x 2
|02
(
1 2
s
in
2
x)
|02
）
1
[(
0)
1
(sin 2
sin 0)]
22
2
2
4
例4 计算下列定积分
1) 2 (4 2x)(4 x2 )dx 0
b a
f
(x)dx
F(x)
|ab
F (b)
F (a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．
公式 公式2一: ：
b xndx
a
=
x n
n+1
+1
|ab
公公式式1二: ：
b 1dx ax
= lnx|ab
公式三：
b
a b
a
sinx cos
dx (cosx) |ab xdx (sin x) |ba
1
x
解1、（ x1）'
x2
2 x2dx
1
（ x1）|12 （ 2）1 （1）1
1 2
解2、（lnx）' x1
2 1
x 1dx
（ln
x）|12
ln
2 ln 1
ln
2
解3、
2 (1 2)dx
1
x
2
1dx
1
2 2dx 1x
2
1dx 2
2 1dx
1
1x
x |12 2(ln x) |12 （2 1）（2 ln2 ln1）1 2ln 2
x2dx
（1 3
x3）|10
1 13 3
1 03 3
1 3
解：3、（1 x4）' x3 4
1 0
x3dx
（1 4
x4）|10
1 4
14
1 4
04
1 4
公式 公式2一: ：
b xndx
a
=
x n
n+1
+1
|ab
例2 计算下列定积分
1、 2 x2dx 1
2、 2 x1dx 1
22
3、 (1 )dx
微积分基本定理
定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的 面积。
y yf (x)
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dxc f (x
Oa
bx
【一、微积分基本定理】
一汽车沿直线作变速运动的规律是s=s(t)
在t时刻时物体的速度为v(t) v(t)≥0,则汽车在时 间间隔［a, b]内经过的位移可用速度表示为
2 x2 2x 3
2)1
dx x
【三、练习】
(1) 1(-3t2 + 2)dt ___1___ 0
(2)
2
(x +
1 )2dx
=
_2_3_/_6__
1
x
(3) 2(3x2 + 2x -1)dx = ___9___ -1
(4)
2
(ex
1)dx
=
_e_2-_e_+_1_
1
【四、小结】
微积分基本定理
公公式式1二:：
b a
1dx x
=
lnx|ab
例3 计算下列定积分
2、 2 cos xdx 0
1、 2 sin xdx 0
3、 2 cos2 xdx 0
解1、 （sin x）' cosx
2 0
c os xdx
(sin x) |02
sin
2
sin 0
1
解2、 （ cosx）' sin x
b a
f
( x)dx
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
【二、例题讲解】
例1 计算下列定积分
1
1、 x dx 0
2、 1 x2dx 0
3、 1 x3dx 0
解：1、（1 x2）' x 2
1
x
0
dx
（1 2
x2）|10
1 12 2
1 02 2
1 2
解：2、 （1 3
x3）'
x2
1 0
b
s a v(t)dt
另一方面，这段位移还可以通过位移函数s=s(t) 在［a,b]上的增量s(b) –s(a) 来表达，即
s s(b) s(a)
则有：ab v(t)dt s(b) s(a) s '(t ) v(t )
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt sx
( cosx) |02
(
cos
2
)
(
cos0)
1
b a
sinx
dx
(cosx)
|ab
公式三：
b
cos xdx (sin
a
x) |ba
解：3、
2 cos2 xdx
0
cos2 x 1 cos2x 2
（1 sin 2x）' cos2x 2
2 cos2 xdx
2
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
一般地，如果函数f(x)在区间上连续，并且
F’ (x)=f(x)，那么
b
a f (x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理又叫做牛顿—莱布尼兹公式。
为了方便起见，还常用 F ( x) |ba 表示 F(b) F(a)