第1讲 变化率与导数、导数的运算【2014年高考会这样考】1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程．2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导．【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.基础梳理1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0Δy Δx＝ li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1；若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ；若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a x ln_a ；若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ；若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1x ln a ；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x .5．导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 6．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.一个区别曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则(1)导数的四则运算法则．(2)复合函数的求导法则．三个防范1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．双基自测1．下列求导过程中①⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2；②(x )′＝12x；③(log a x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ln a ′＝ 1x ln a；④(a x )′＝(eln a x )′＝(e x ln a )′＝e x ln a ln a ＝a x ln a 其中正确的个数是()．A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D2．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为()．A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．答案 C3．(2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x－12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为()． A ．－12 B.12C ．－22D.22解析 本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力． y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x，把x ＝π4代入得导数值为12.答案 B4．(2011·江西)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为()．A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析 令f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x ＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2.故选C.答案 C5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝______；li m Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________(用数字作答)．答案 2 －2考向一 导数的定义【例1】►利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处切线与曲线f (x )＝x 3的交点．[审题视点]正确理解导数的定义是求解的关键．解f ′(x 0)＝lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0 (x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20.曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎨⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30， 得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量Δy ；(2)求平均变化率Δy Δx ；(3)求极限li m Δx →0Δy Δx. 【训练1】利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数． 证明 法一 设y ＝f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有f (－x )＝－f (x )f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx则f ′(－x )＝li mΔx →0f (－x ＋Δx )－f (－x )Δx ＝li m Δx →0f (x －Δx )－f (x )－Δx＝f ′(x ) 因此f ′(x )为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数．法二 设y ＝f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－f (－x )因此f ′(x )＝[－f (－x )]′＝－ [f (－x )]′＝f ′(－x )则f ′(x )为偶函数同理可证偶函数的导数是奇函数．考向二 导数的运算【例2】►求下列各函数的导数：(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝11－x ＋11＋x； [审题视点]先把式子化为最简式再进行求导．解 (1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x －32＋x 3＋sin x x 2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′ ＝－32x －52＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)法一 y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x . (4)y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x (1－x )(1＋x )＝21－x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. (1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础．(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导．【训练2】求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e x ln x ；(4)y ＝(x ＋1)2(x －1)．解 (1)y ′＝nx n －1e x ＋x n e x ＝x n －1e x (n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x .(3)y ′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x . (4)∵y ＝(x ＋1)2(x －1)＝(x ＋1)(x 2－1)＝x 3＋x 2－x －1，∴y ′＝3x 2＋2x －1.考向三 求复合函数的导数【例3】►求下列复合函数的导数．(1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ；(3)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [审题视点]正确分解函数的复合层次，逐层求导．解 (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5，由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x .由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′＝12u －12(－1)＝－12u －12＝－123－x ＝3－x 2x －6. (3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y x ′＝y u ′·u x ′y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．【训练3】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋1； (2)y ＝sin 22x ；(3)y ＝e －x sin 2x; (4)y ＝ln 1＋x 2.解 (1)y ′＝12 x 2＋1·2x ＝x x 2＋1， (2)y ′＝(2sin 2x )(cos 2x )×2＝2sin 4x(3)y ′＝(－e －x )sin 2x ＋e －x (cos 2x )×2＝e －x (2cos 2x －sin 2x )．(4)y ′＝11＋x 2·121＋x2·2x ＝x 1＋x 2. 规范解答6——如何求曲线上某一点的切线方程【问题研究】利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误.,【解决方案】解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.【示例】►(本题满分12分)(2010·山东)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．(1)求出在点(2，f (2))处的斜率及f (2)，由点斜式写出切线方程；(2)求f ′(x )，再对a 分类讨论．[解答示范] (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，(1分)因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(3分)(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)．(4分)令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；(6分) ②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a －1.a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(7分)b ．当0＜a ＜12时，1a －1＞1＞0.x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；(9分)c ．当a ＜0时，由于1a －1＜0，x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．(11分)综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增， 函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减．(12分) 求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在．。