导数的定义及几何意义1．xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/x x y = 。

注：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。

②在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。

③xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ∆，)(00x x f ∆+）的割线斜率。

④导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率。

⑤若极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

⑥如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a ，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。

[举例1]若2)(0/=x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2解析：∵2)(0/=x f ，即k x f k x f k ---+→-)()]([lim 000=2⇒kx f k x f k 2)()(lim 000--→=-1。

[举例2] 已知0,a n >为正整数设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=- 解析：本题可以对()n y x a =-展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：x a x a x x y nn x ∆---∆+=→∆)()(lim 0/= xa x x C x a x C x a x C a x nn n n n n n n n x ∆--∆++∆-+∆-+---→∆)()()()()()(lim 222110 =xx C x a x C x a x n nn n n n n x ∆∆++∆-+∆---→∆)()()()(lim 22210 = ])()()()()([lim 12332210----→∆∆++∆-+∆-+-n n n n n n n n x x C x a x C x a x C a x n =1)(--n a x n 。

[巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S 与时间t 的关系为：2221t tt S +-=，试用导数的定义求t =3时的速度。

[巩固2]设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ∆对成本的影响可用增量比qq C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时，qC ∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）。

设生产x 个单位产品的总成本函数是C(x)＝8＋82x ，则生产8个单位产品时，边际成本是： （ ） A ．2 B ．8 C ．10 D ．162．常用导数公式：0'=c ,1)'(-=n n nx x ,x x e e =/)(，xx 1)(ln /=； 导数的运算法则：若函数)(x f 与)(x g 的导数存在，则)(')(')]'()([x g x f x g x f ±=±,)(')]'([x f c x cf ⋅=，)()()()()]()([///x g x f x g x f x g x f +=；)()()()()())()((2///x g x g x f x g x f x g x f -=（这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比）； 复合函数的导数：由)(u f y =与u =ϕ)(x 得到复合函数f y =][)(x ϕ，则'x y ='u y .'x u 。

[举例1]已知x f x x x f -+=)1()(/23，则)2(/f = 。

解析：)1(/f 是常数，∴1)1(23)(/2/-+=xf x x f ⇒)1(/f =3+2)1(/f -1⇒)1(/f = -2∴143)(2/--=x x x f ，故)2(/f =3。

[举例2]+∈N n ，n n n n n nC C C C ++++ 32132= 。

解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法（k k n C = n 11--k n C ）；这里，我们观察n n n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 332210)1( ①，不难发现其通项k k n x C 求导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得：1232132)1(-++++=+n n n n n n n x nC x C x C C x n ，令x =1得：n n n n n nC C C C ++++ 32132=n n 2⋅[巩固1] 已知2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．令()()F x xf x '=，则)(/x F = 。

[巩固2]已知函数)1()13)(12)(1()(++++=nx x x x x f ，则)0(/f 的值为：A ．2n CB ．21+nC C ．2n AD ．21+n A3．函数)(x f 在0x x =处的导数)('0x f 的几何意义：曲线)(:x f y C =在其上点0(x P ，)0y 处的切线的斜率。

用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。

[举例1]曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e （07高考海南理10） 解析：12e x y =⇒x e y 21/21=，则]曲线在点2(4e )，处的切线斜率为：221e ， ∴切线方程为：)4(2122-=-x e e y ，它与坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，-2e ）； ∴切线与坐标轴所围三角形的面积为：2e ，选D 。

[举例2]函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是：8+-=x y ，若点P 的横坐标为5， 则)5()5(/f f += 。

解析：本题没有函数表达式，但有切线方程8+-=x y ，注意到“切点在切线上”，∴P （5，3）；又“切点在曲线上”，∴3)5(=f ；而曲线)(x f y =在点P 处的切线斜率为)5(/f ，即)5(/f =-1，故)5()5(/f f +=2。

[举例3]已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式∆=0， 从而求出a 的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路不通。

以下用“导数”求解：“切点”是关键，记切点P （0x ，0y ），ax y 2/=，则有：0100=--y x （切点在切线上）①；200ax y = （切点在曲线上）② 02ax =1 （切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：41=a 。

[巩固1]已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿．（07高考湖北文13）[巩固2]点P 是曲线323+-=x x y 上的动点，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛43,2ππ [巩固3]若直线y=x 是曲线y=x 3-3x 2+ax 的切线，则a=___________4、注意区分“求曲线)(x f y =上过点M 的切线”与“求曲线)(x f y =上在点M 处的切线”； 前者只要求切线过M 点，M 点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M 点。

[举例]求函数y=x 3-3x 2+x 的图象上过原点的切线方程解析：易见O （0，0）在函数y=x 3-3x 2+x 的图象上，y ’=3x 2－6x+1,但O 点未必是切点。

设切点A （x 0,y 0）∵y ’=3x 2－6x+1, ∴切线斜率为3x 02－6x 0+1,又切线过原点，∴00x y k AO ==3x 02－6x 0+1即：y 0=3x 03－6x 02+x 0 ① 又∵切点A （x 0,y 0）y=x 3-3x 2+x 的图象上∴y 0=x 03－3x 02+x 0 ②由①②得：x 0 =0或x 0 =23，∴切线方程为：y=x 或5x+4y=0 点评：一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。

以下给出简单证明（不要求学生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为bx ax x f +=3)(。

若M （x 1，y 1）是三次曲线bx ax x f +=3)(上的任一点，设过M 的切线与曲线y=f （x ）相切于（x 0，y 0），则切线方程为))((000x x x f y y -'=-，因点M 上此切线上，故))((01001x x x f y y -'=-，又13110300,bx ax y bx ax y +=+=，所以))(3()(0120030131x x b ax bx ax bx ax -+=+-+，整理得：0)2()(10210=+-x x x x ，解得，10x x =或210x x -=。

当点M 是对称中心即1x = -21x =0时，过点M 作曲线的切线切点是惟一的，且为M ，故只有一条切线；当点M 不是对称中心即01≠x 时，过点M 作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M 为切点（亦即曲线在点M 处）的切线。