2014年江苏省高考压轴卷数学1.设全集U=R ,A ={}1,2,3,4,5,B ={ x ∈R ︱x 2+ x -6=0},则下图中阴影表示的集合为▲ . 2. 若,32121=+-xx 则3322x x-+= ▲ .3. 设函数2()ln f x x x =-,若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y ax b =+,则=+b a ▲ .4.已知a =log 0.55,b =log 0.53,c =log 32,d =20.3,则a,b,c,d 依小到大排列为 ▲ .5.已知函数()()12321,2log 1,2x e x f x x x -⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩,则()()2f f = ▲ .6.函数f (x )的定义域为 ▲ .7.设定义在R 上的函数()f x ,满足(2)()0f x f x +-=,若01x <<时()f x =2x ,则21(log )48f = ▲ . 8.函数2()xf x x e =在区间(),1a a +上存在极值点,则实数a 的取值范围为 ▲ .9.已知命题p :{|||4}A x x a =-<,命题q :{|(2)(3)0}B x x x =-->,若p ⌝是q ⌝的充分条件,则a 的取值范围为 ▲ .10.已知函数3()f x x x x =+,若2(2)(3)0f x f x ++<,则实数x 的取值范围是 ▲ .11.若函数2()ln f x mx x =+在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围是 ▲ .12.对于R 上可导的非常数函数)(x f ,若满足0)(')1(≥-x f x ,则(0)(2)2(1)f f f +与的大小关系为 ▲ .13.下列四个命题中,所有真命题的序号是 ▲ . ①,()()m m m R f x m x-+∃∈=-243使1是幂函数;②若函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-,则函数()f x 周期为2; ③如果10≠>a a 且,那么)(log )(log x g x f a a =的充要条件是)()(x g x f a a=;④命题“,x R x x ∀∈--≥2都有320”的否定是“,x R x x ∃∈--≤2使得320”.14.已知函数1()()2(),f x f x f x =满足当x ∈[1,3],()ln f x x =,若在区间1[,3]3内,函数()()g x f x ax =-有三个不同零点,则实数a 的取值范围是 ▲ .二.解答题: 本大题共6小题.共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)设集合21|,0,11x A y y x x x +⎧⎫==≥≠⎨⎬-⎩⎭且,集合{}22|lg (21),B x y x a x a a a R ⎡⎤==-+++∈⎣⎦.(1)求集合,A B ; (2)若AB R =,求实数a 的取值范围16.(本小题满分14分)设命题p :存在x ∈R ,使关于x 的不等式220x x m +-≤成立;命题q :关于x 的方程(4)394x x m -⋅=+有解;若命题p 与q 有且只有一个为真命题,求实数m 的取值范围.17.(本小题满分14分) 设21()log 1axf x x x -=--为奇函数,a 为常数. (1)求a 的值;(2)判断并证明函数)(x f 在),1(+∞∈x 时的单调性;(3)若对于区间[]2,3上的每一个x 值,不等式()2x f x m >+恒成立,求实数m 取值范围.18. (本小题满分16分)某国庆纪念品,每件成本为30元,每卖出一件产品需向税务部门上缴a 元(a 为常数,4≤a ≤6)的税收.设每件产品的售价为x 元,根据市场调查,当35≤x ≤40时日销售量与1e x⎛⎫⎪⎝⎭(e 为自然对数的底数)成正比.当40≤x ≤50时日销售量与2x 成反比,已知每件产品的售价为40元时,日销售量为10件.记该商品的日利润为L (x )元.(1)求L (x )关于x 的函数关系式;(2)当每件产品的售价x 为多少元时,才能使L (x )最大,并求出L (x )的最大值.19. (本小题满分16分)已知命题p :“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”.(1)试判断命题p 的真假?并说明理由;(2)设函数32()3g x x x =-,求函数()g x 图像对称中心的坐标;(3)试判断“存在实数a 和b ,使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”是“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”成立的什么条件?请说明理由.20.(本小题满分16分)设函数()ln f x a x x1=+,a ∈R .(1)求函数)(x f 的单调区间;(2)当0a >时,若对任意0x >,不等式()2f x a ≥成立,求a 的取值范围; (3)当0a <时,设10x >,20x >,试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小并说明理由.数学加试试卷解答题(共4小题,每小题10分共40分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 21. 求下列函数)32(sin 2π+=x y 的导数.22. 将水注入锥形容器中,其速度为min /43m ,设锥形容器的高为m 8,顶口直径为m 6,求当水深为m 5时,水面上升的速度.23. 证明下列命题:(1)若函数f (x )可导且为周期函数,则f'(x )也为周期函数; (2)可导的奇函数的导函数是偶函数.24. 已知()()3211ln ,32f x xg x x x mx n ==+++,直线与函数()(),f x g x 的图象都相切于点()1,0 (1)求直线的方程及()g x 的解析式;(2)若()()()'h x f x g x =-(其中()'g x 是()g x 的导函数),求函数()h x 的值域.参考答案一.填空题: 本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.{}2 2.18 3.1 4. a <b <c <d 5. 1 6. {}2x x > 7.438. (3,2)(1,0)--⋃- 9.16a -≤≤10.(2,1)-- 11. 0m ≥ 12. (0)(2)2(1)f f f +> (≥)13.① 14. ln 31[,)3e二.解答题: 本大题共6小题.共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解:(1)A ={}|12x x x ≤->或 …………………………………………………………5分B ={}|1x x a x a <>+或 …………………………………………………………8分(2)由AB R =得,11a +≤-或2a > …………………………………………12分即2a ≤-或 2a >,所以(](),22,a ∈-∞-+∞ ………………………………14分16.解:由命题p 为真:440m ∆=+≥,得1m ≥- ………………………………4分 由(4)394xxm -⋅=+得44303x xm ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭所以命题q 为真时,0m ≤ ………………………………8分若命题p 为真,命题q 为假,则1m ≥-且0m >得0m >若命题p 为假,命题q 为真,则1m <-且0m ≤得1m <- ………………………12分 所以实数m 的取值范围为(,1)(0,)-∞-+∞ ………………………………………14分17. 解:(1)由条件得:0)()(=+-x f x f ,2211log log 011ax axx x +-∴+=---, 化简得0)1(22=-x a ,因此1,012±==-a a ,但1=a 不符合题意,因此1-=a . ………………4分 (也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称,得出结果,同样给分)(2)判断函数)(x f 在),1(+∞∈x 上为单调减函数;证明如下:设121x x <<<+∞121212212222112121111()()log log log ()1111x x x x f x f x x x x x x x x x +++--=--+=⋅+----+ 121x x <<<+∞ 21120,10,10x x x x ∴->±>±> 12121212(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x +---+=-+-12122112()0x x x x x x --++=-> 又1212(1)(1)0,(1)(1)0x x x x +->-+>∴12121111x x x x +-⋅-+,1221211log 011x x x x +-⋅>-+,又210x x ->∴12()()0f x f x ->,即12()()f x f x > ∴函数)(x f 在),1(+∞∈x 上为单调减函数;(也可以利用导数证明,对照给分) ………………………………………………9分 (3)不等式为()2xm f x <-恒成立,min [()2]x m f x ∴<-)(x f 在[2,3]x ∈上单调递减,2x 在[2,3]x ∈上单调递增,()2x f x ∴-在[2,3]x ∈上单调递减,当3x =时取得最小值为10-,(,10)m ∴∈-∞-。
………………………………14分18. 解:(1)当35≤x ≤40时,由题意日销售量为1k 1e x⎛⎫⎪⎝⎭售价为40元时,日销售量为10件,故1k 401e ⎛⎫⎪⎝⎭=10,1k =4010e ………………3分当40≤x ≤50时,由题意日销售量为22k x售价为40元时,日销售量为10件,故21600k =10,216000k = ………………6分 所以该商品的日利润40210(30)3540()16000(30)4050x e x a x e L x x a x x ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪--≤≤⎪⎩………………8分(2)当35≤x ≤40时, 4010()(30)x e L x x a e=--4031()10xa xL x e e +-'=,4≤a ≤6,353137a ≤+≤,因为35≤x ≤40,令()0L x '=得31x a =+ 当3531x a ≤≤+时()0L x '> 当3140a x +≤≤时()0L x '<故max ()(31)L x L a =+910a e -= ………………………………………………………11分 当4050x ≤≤时,216000()(30)L x x a x =-- 显然()L x 在4050x ≤≤时2416000((30)2)()x x a x L x x ---'=2416000((602))x a x x -++=316000(602)0a x x +-=>所以()L x 在4050x ≤≤时为增函数故4050x ≤≤时max ()(50)L x L = ……………………………………………………13分 又93(31)1010a L a e e -+=≥323216(50)(20)55L a ⨯=-≤故(31)(50)L a L +> ……………………………………………………15分 于是每件产品的售价x 为31a +时才能使L (x )最大, L (x )的最大值为910a e - ………16分 19. 解:(1)命题p 为真命题;充分性:若()y f x a b =+-为奇函数,则()()f a x b f a x b --=-++ 即()()2f a x f a x b -++=设(,)M x y 为()f x 图像上任一点,则M 关于(,)a b 的对称点为(2,2)N a x b y -- (2)(())2(())f a x f a a x b f a a x -=+-=--- N ∴在()y f x =图像上,即()f x 的图像上,即()f x 的图像关于(,)a b 对称 必要性:若()y f x =的图像关于(,)a b设(,)M x y 为()f x 图像上任一点,则由上知:(2)2()f a x b f x -=-令x 取x a +,则()()2f a x f a x b -++= 即()()f x a b f a x b -+-=-++ ()y f x a b ∴=+-为奇函数综上命题为真 …………………………………………5分(2)设函数()()f x g x a b =+-为奇函数, 则32()()3()f x x a x a b =+-+-32232(33)(36)3x a x a a x a a b =+-+-+--∵()()f x g x a b =+-为奇函数,则3233030a a ab -=⎧⎨--=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩由命题p 为真命题,则函数32()3g x x x =-的图像对称中心为(1,2)- ……………10分(3)ⅰ.当:l x a =时“存在实数a 和b ,使得函数()y f x a b =+-是偶函数”是“函数()y f x =的图像关于直线成轴对称图形”的充要条件;(证明方法参考(1))ⅱ. 当不为x a =时“存在实数a 和b ,使得函数()y f x a b =+-是偶函数”是“函数()y f x =的图像关于直线成轴对称图形”的充分不必要条件 …………………………………16分20. 函数()f x 的定义域为(0.)+∞ Ⅰ)由题意0x >,21()a f x x x'=- ………………………………………………2分 (1)当0a >时,由()0f x '<得1x a< 所以()f x 的递减区间1(0,)a由()0f x '>得1x a>()f x ∴的递增区间为1(,)a+∞ ………………………………………………4分(2)当0a ≤时由于0x >,21()0a f x x x '∴=-<恒成立 ()f x ∴的递减区间为(0,)+∞ ………………………………………………6分Ⅱ)对任意正实数x ,成立即12ln a a x x≤+恒成立 …………………………………7分 因为0a >由Ⅰ可知 当1x a =时,函数1()ln f x a x x=+有最小值 11()ln ln f a a a a a a a=+=- ………………………………………………9分所以min 2()ln a f x a a a ≤=-解之得:10a e<≤故所求实数a 的取值范围是10,e ⎛⎤⎥⎝⎦………………………………………………11分Ⅲ)1212122()ln 22x x x x f a x x ++=++121212()()22f x f x x x a x x ++=+21212121212()()()()222()x x f x f x x x f a x x x x ++-∴-=-+ ………………………12分 (1)显然当12x x =时,12()2x x f +=12()()2f x f x + ………………………13分 (2)当12x x ≠时,因为120,0x x >>且0a <12x x +>1> 0a ∴<又2121212()02()x x x x x x --<+ 1212()()()022x x f x f x f ++∴-< 1212()()()22x x f x f x f ++∴<………………………15分 综上:当12x x =时12()2x x f +=12()()2f x f x + 当12x x ≠时1212()()()22x x f x f x f ++<………………………………16分数学(加试)参考答案21. 解:法一:'2sin(2)[sin(2)]'2sin(2)cos(2)(2)'33333y x x x x x πππππ=+⋅+=++⋅+22sin(4)3x π=+ ………………………………………………10分法二:221cos(4)3sin (2)32x y x ππ-+=+= ……………………………………5分2'2sin(4)3y x π∴=+………………………………………………10分 22.解:设注入水min t 后,水深为hm ,由相似三角形对应边成比例可 得水面直径为hm 43, 这时水的体积为 32643)83(31h h h V ππ=⋅= ………………………………4分 由于水面高度h 随时间而变化,因而h 是的函数)(t h h = 由此可得水的体积关于时间的导数为t t t h t h h h h h V V '⋅='⋅'='⋅'='23649)643(ππ 由假设,注水速度为min /43m ,33464t h π= 294'64t h h π∴=⋅ 所以当5h =时,'t h =256/min 225m π, 当水深为5m 时,水面上升的速度256/min 225m π。