第一讲 二次根式基础回顾1．下列式子是二次根式的是（ ）A. B ．． D.52．x 的取值范围（ ）A. 3x ＞ B ．3x ＜ C. 3x ≥ D. 3x ≤3．）A ．5B ．5- C.5± D.254．(2-的结果是（ ）A. B ． C . 18 D. 18-5.若a =，则a 的范围是（ ）A ．0a ＞ B. 0a ≥ C. 0a ≤ D. 0a ＜6.成立，则x 的范围是（ ） A.3≤≤4 B. x ≥4 C.3＜x ≤4 D. x ＞37.下列二次根式属于最简二次根式的是（ ）A.B.C. D.8．化简）A.B.C. 0D.9．下列计算正确的是（ ）A. =B. =C. =D.1== 方法运用（一）利用二次根式有意义的条件解答问题10．已知3y =，求.11.已知296m m +=，求nm的比值.(二）二次根式有意义的条件12．下列式子有意义，求x 的范围.(1)(2)(三)比较大小 13.比较大小.(1) (2)(3)（四）二次根式的运算14.计算．(1) - (2)-(3) 22)-1） (5)(6) 28÷(8)已知直角三角形的两条直角边分别为1和1，求周长与面积. （五）先化简，再求值．15．化简：2x 值代入化简并计算.16．一个三角形三边长分别为 , 54(1)求它的周长； (2)请给一个适当x 的值，使其周长为整数，并求三角形的周长的值17.412(2)22x x x x -÷+---，其中4x =. 18.已知4x y +=-，2xy =，求.（六）运用整体代换求值19．2a =2b =a bb a+的值．20．已知a b -=，b c -=，求222a b c ab bc ac ++---的值.（七）设辅助未知数求值 21． 22.23．已知4=，求.24.已知1x =，求代数式223x x ++的值.25.如图1，△ACB 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，点E 、F 分别在BC 上．且CE ＝BF ，CM ⊥AE ，AE 与MF 的延长线相交于N 点． （1）求证：∠BMF ＝∠AMC .（2) 如图2，若CM 为AN 的垂直平分线，MF 与AE 的延长线交于N 点，求证：BM ＋CM ＝MN .(3) 若AC＝2+在(26.已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，D 、E 在BC 上，且∠ADC ＝∠BAE . (1)求证：∠DAE ＝045；(2) 过B 作BF ⊥AD 于F ，交直线AE 于M ，连CM ，判断BM 与CM 的位置关系，加以证明．图2图1第2讲 勾股定理基础回顾（一）勾股定理基本计算 1.依图给出条件进行计算2.如图，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝25，BD ＝10，AB ＝20，在AB 上找一点P ，使PC ＋PD 最小，并求最小值.AB（二）勾股定理画图3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，10ABC S △，求BC .4.在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15，AD ⊥BC 于D ，求AD .5．有四个全等的直角三角形，能用___________种方式拼成两个正方形．并用其中一种拼法证明勾股定理.6．在△ABC 中，AB ＝22，BC ＝1，∠ABC ＝045，以AB 为一边作等腰直角三角形ABD ，连接CD ，若∠ABD ＝090，求线段CD 的长.（三）勾股定理与方程7．如图，AB ＝15，AC ＝13，BC ＝4，求ABC S △.8．如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的F 点，求CE .9．如图，∠ACB ＝090，∠1＝∠2，AC ＝6，BC ＝8，求CD 的长．10.如图，已知∠ACB ＝090，CD ⊥AB 于D ，∠1＝∠2，EF ∥AB ，AC ＝6，BC ＝8． (1)求证CE ＝CG ； (2)求证：CE ＝FB ； (3)求FG 的长．11.如图，长方形ABCD ，AB ＝6，BC ＝10，将△BCD 沿BD 折翻，得△BDF ，BF 交AD 于E ，求BDE S △．（四）勾股定理与全等12.如图，等腰直角△ACB ，∠ACB ＝090，点D 、E 在AB 上，∠DCE ＝045，AD ＝3，BE ＝4，求AC .13.如图，等腰直角△ACB ，∠ACB ＝090，D 为AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 上，DE ⊥DF . (1) 求证：DE ＝DF ;(2) AC ＝4，AE ＝3，求DE 的长.（五）勾股定理与常规辅助线作法14.如图，△ABC中，AC⊥BC，D为AB中点，点E、F分别在BC、AC上，DE⊥DF,AF＝12，BE ＝5，求EF.15.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，A、B两点关于y轴对称，∠APB＝0120，∠APB的外角平分线交y轴于E点．(1)求∠EBA的大小；(2)当P点在第二象限内运动时，问PB-PA与PE是否存在确定大小关系并证明．16.如图，在坐标系中，点A、B在x轴上，且OA＝OB，点P在第三象限内，∠APB＝060，PC平分∠APB交y轴于C点．-，0），求C点的坐标； (2)问PA＋PB与PC的数量关系，并证明.(1)若A（2317.如图，四边形ABCD中，∠A＝090，AB＝2，CD＝1，求BC和AD的60，∠B＝∠D＝0长.18.如图，在△ABC中，∠A＝090，P是AC的中点，PD⊥BC于D, BC＝9，CD＝3，求AB.问题探究19.如图，等腰直角△ACB，AC＝BC＝5，等腰直角△CDP, CD＝CP，且PB＝2，将△CDP绕C点旋转．(1)求证AD＝PB；(2)若∠CPB＝0135，求BD；(3) ∠PBC＝__________时，BD有最大值．并画图说明；∠PBC＝__________时，BD有最小值，并画图说明.第3讲 勾股定理逆定理基础回顾（一）运用逆定理证垂直1.如图，点P 为正方形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝2，PC ＝1，求∠CPD .2．等边△ABC ，PA ＝5，PB ＝4，PC ＝3，求∠BPC .3.三角形三边为a ，b ，c ，判断△ABC 的形状.(1)21a n =-,2b n =,21c n =+； (2)222200121620a b c a b c +++=++.4.如图，BF ⊥AD ，∠A ＝∠EBC ＝060，AB ＝4，BC ＝3，CD 3DE ＝3. 求证：AD ⊥CD .5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝090，P为角平分线的交点．(1)求∠APB； (2)若AC＝8，BC＝6，求PA的长．6．如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝090，BE//AC，且AC＝4BE，AD为中线求证：(1)AD DE；(2) AD平分∠CAE.方法运用（一）利用勾股定理构造直角三角形7．如图，A(4，0)、B(0，4)两点，P在BA延长线上，△OPE为等腰直角三角形，F为PE的中点，OF交AB于M.(1)若P（5，－1），求E点坐标；(2)当P点在AB上运动时，问PA、PM、BM三者之间存在怎样关系并证明.8．如图，△ACB为等腰直角三角形，AC⊥BC，AE∥BC，AF＝AC，AM平分∠EAF.45；(2)求证：AM⊥MB；(1)求证：∠AMC＝0(3)探究AM、BM、CM三者间关系，并证明.9．如图，△ACB为等腰直角三角形，AC⊥BC，PA⊥PB，连接PC.(1)如图1，求证：PA＋PB＝2PC； (2)如图2，求证：PA–PB＝2PC.10.如图，四边形ABCD中，CA＝CB，∠ACB＝060，连PC. 求证：PA＋PB＝120，∠APB＝03.（二）利用特殊直角三角形寻求线段的比11．如图，正方形ABCD 中，F 为CD 的中点，点E 在BC 上，∠EAF ＝045，求CEBE．12.如图，△ACB 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，点D 在AB 上，点E 在BC 上，CD ＝DE . (1)若∠CDE ＝045，求BEBC的值； (2)过E 点作EM AB 交BC 于M 点，求DMBC的值.13.（2011．武汉．5月调考）如图，等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝090，AF 为△ABC的角平分线，分别过点C 、B 作AF 的垂线，垂足分别为E 、D . (1)求证：CE ＝DE ＝22BD； (2)求证：AF ＝2BD ； (3)求证：212DF AF -=.问题探究利用045、060构造特殊直角三角形，求线段的比．14.如图，△ABC 中，D 为AC 上一点，CD ＝2DA ，∠BAC ＝045，∠BDC ＝060，CE ⊥BD 于E ，连AE ，下列结论：(1)求证：ED ＝DA ； (2)求证：∠CBA ＝060；(3)求证：23BCEADES S =△△.15.如图，四边形ABDM 中，AB ＝BD ，AB ⊥BD , ∠AMD ＝060，以AB 为边作等边△ABC ，BE 平分∠ABD 交CD 于E ，连ME . (1)求∠BEC 的度数；(2)试探究：线段MD ＋MA 与ME 之间的数量关系，并加以证明； (3)若BD 6EC 的长为___________.（直接写出结果）第4讲平行四边形性质与判定基础回顾（一）平行四边形性质l.用两个全等的三角形拼成一个四边形，则下列说法正确的是( )A.一定是平行四边形B.可能是平行四边形C.一定不是平行四边形D.以上说法都不对2.在□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC＝6，BD＝4，则AB的取值范围是（）A. AB＞1B.AB＞2C.1＜AB＜5D.2＜AB＜103．如图，□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于F，若AB＝4，AD＝7，则DF＝ ( )A.5 B．4 C.6 D．34.如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：DE＝BF.5.如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点的直线分别与AB、CD交于E、F两点.(1)求证：OE＝OF；(2)若E、F分别在AD、CB的延长线上，其余条件不变，(1)中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论．6.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm．点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，几秒钟后四边形ABQP是平行四边形？7．□ABCD中，AC与BD相交于点O，AB AC，∠DAC＝045，AC＝2，求BC的长．60，BF＝2，DE＝3，DF与AE交于点G.8.如图口ABCD中，AF⊥BC于F，AE⊥DC于E，∠B＝0试判断△AFG的形状并予以证明．9．如图O为口ABCD的对角线AC的中点，过O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F 在直线MN上且OE＝OF.(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE＝∠NCF.（二）平行四边形判定10．如图，在口ABCD中，E，F为BD上的点，BF＝DE，那么四边形AECF是什么四边形？11．（2010恩施州）如图，口ABCD中，AE＝CF，M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形．12.如图，在口ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH.求证：EG与FH互相平分.13.如图，在口ABCD中，E、F分在AD、BC上，AE＝CF，AF与BE交于G，CE与DF交于H，猜想EF与GH之间的关系，并证明你的猜想．135，连CE交AD于F14.如图，E是口ABCD内一点．ED⊥CD，EB⊥BC，∠AED＝0(l)求证：∠ADE＝∠ABE；(2)求证；△BCE为等腰直角三角形.15.如图，E是口ABCD内一点，已知DE AD，∠CBE＝∠CDE，∠BCE＝045.延长CE交AD、BA的延长线于F、G,连接BF.(1) BE＝CD；(2) BC－DE＝2CE.16.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于F，连接AC、BF.(1)求证：AB＝CF；(2)四边形ABFC是什么四边形？并说明理由.方法运用17.如图，在△ACB中，∠ACB＝090，CD AB.(1)若AC＝8，BC＝6，求AD的长；(2)若DE平分∠ADC，DF平分∠CDB，分别交AC、BC于F、F点，求证：CE＝CF.18.如图，口ABCD中，AB＝4，BC＝2，EB、CF平分∠ABC、∠BCD，交直线AD于E、F，求EF.S.19.在口ABCD中，AD＝12，BD＝10，AC＝26，求ABCD问题探究20．已知等腰△ABC和等腰△ADE，CA＝CB，AD＝AE，∠ACB＝∠DAE，点C、A、D在同一直线上，点E、B在直线CD的异侧，以线段AB和AD为邻边作口ABFD，连接CE、CF.60，则∠CFE＝_________；(1)如图1，若∠ACB＝∠DAE＝090，则∠CFE＝_________；(2)如图2，若∠ACB＝∠DAE＝0α，求∠CFE.(3)如图3，若∠ACB＝∠DAE＝060，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，21.（2012．沈阳）已知，如图1，∠MON＝04，在∠NON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，B不与点O重合），且AB＝3120．∠APB＝0(1)求AP的长；(2)求证：点P在∠MON的平分线上；(3)如图2，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．①当AB⊥OP时，请直接．．写出四边形CDEF的周长的值；t的取值范围．②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接．．写出第五讲 中位线专题一．结合全等构造中位线1.如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD ，垂足为D 点，点E 为AB 的中点，（1）求证：DE ∥BC ;（2）若AC ＝8，BC ＝5，求DE 的长.2.如图，梯形ABCD 中，E ，F 分别为对角线BD ，AC 的中点，求证：（1）EF ∥CD ，(2)EF ＝21(CD －AB ).3.如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ， H 为FG 的中点，连接DH ，DH 交BC 于M ． （1）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（2）若AB ＝BF ＝2，∠BAE ＝60°，求四边形BFHM 的面积．4.如图，在□BCFD 的对角线CD 的延长线上取一点E ，连接FE 并延长至A 点，使EA ＝EF ，连接AB ，求证：CE ∥AB .5.如图，□ABCD 的周长为a ，延长AB 至E ，使BE ＝BC ，BN ⊥EC 于N ，连MN ，求MN .6.如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，∠ABD ＝20°，∠BDC ＝100°，E 、F 、M 分别为AD 、BD 、BC 的中点，求EFFM.7.如图，在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝7，BE 平分∠ABC ，AE ⊥BE ，点F 是AC 的中点，连EF ，求EF .8.如图，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，AB 的中垂线交AB 于N ，交EF 于M ，求证：MN ＝21(BF －AE ).9.如图，AD ∥BC ，∠B ＋∠BCD ＝90°，连AC ，M 、N 、P 分别为AD 、BC 、AC 的中点， （1）求证：MP ⊥NP ； (2) 若AB ＝6，CD ＝8，求MN 的长.10.如图，BF 是△ABC 的角平分线，AM ⊥BF 于M ，CE 平分△ABC 的外角，AN ⊥CE 于N ， (1) 求证：MN ∥BC ； (2) 若AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，求MN 的长.二．寻找中点，产生两次中位线11.已知△ACB 、△CEF 都为等腰直角三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，∠ACB ＝90°，连BE 、AF ,点M 、N 分别为AF 、BE 的中点. (1)如图1，求证： AE ＝2MN ；(2)将△CEF 绕C 点顺时针旋转一个锐角至图2，（1）中结论是否成立，试证明你的结论.12. 已知△ACB 、△CEF 都为等腰直角三角形，∠AED ＝∠ACB ＝90°，点D 在AB 上， 连CE ，M 、N 分别为BD 、CE 的中点. (1)求证：MN ＝21CE ； 4． 如图，将△ADE 绕A 点逆时针旋转一个锐角，（1）中结论是否仍成立，并证明. 5． 求证：MN ⊥CE .13.己知△ACB 为等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,点E 在AC 上,EF 丄AC 交AB 于F ,连BE 、CF .M 、N 分别为CF 、BE 的中点. （1）如图1,则CEMN＝___________,并说明理由； （2）如图2,将△AEF 绕点A 顺时针旋转45°,（1）中的结论是否成立？并加以证明； （3）如图3,将△AEF 绕A 点顺时针旋转一个锐角,则上述结论是否仍成立？（画图不证明）14.如图1,已知等腰直角△ABC 和等腰直角△BEF ,∠ABC ＝∠BEF ＝90°,点F 在边BC 上,点M 为AF 的中点，连EM .（1）①在图1中画出△BEF 关于直线BE 成轴对称的三角形；②求证：CF ＝2ME ;（2）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转至如图2的位置，其它条件不变,（1）中的结论②是否仍成立?请证明你的结论；（3）如图3,过B 作BS 丄ME 于S ，若ES ＝2，BS ＝4，CF ＝10，则S 四CFEB 的面积为________（直接写出结果）.第6讲 矩形的性质与判定专题训练基础回顾 一．矩形初步1.如图，矩形ABCD ，沿对角线BD 向上翻折，使点C 落在点F 处，连AF . (1) 求证：AF ∥BD ； (2) 若AB ＝6，BC ＝8，求AF 的长.2.如图，矩形ABCD 中，AC ＝2AB ，AE 平分∠DAB ，求∠OEA .3. 如图，矩形ABCD 中，EF ⊥CE ，EF ＝CE ，DE ＝4，矩形的周长为32，求CF 的长.4. 如图，矩形ABCD 中，点P 在BC 边上，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，AB ＝6，BC ＝8，运用上题结论，求PE ＋PF 的值.5. 如图，矩形ABCD ，∠AOD ＝120°，OD ＝2，求AB 、AD .6. 如图，矩形ABCD ，CE ⊥BD ，DE ＝31BE ＝2，求BC 和CD 的长.7. 如图，矩形ABCD中，AE平分∠DAB，∠EAC＝15°，求∠BOE.8. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿AC折叠到△ACE，AE交BC于F，求S△ACF.二．矩形的判定9.顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形EFGH，要使四边形EFGH是矩形，需添加的条件是____________，并画图给予证明.10.如图，AB＝BC，AD⊥BC于D，点P为AB上的动点，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为E，F.（1）求证：PE＋PF＝AD；(2) 若P点在AB的延长线上，问PE、PF、AD有怎样的关系，画图证明；11.如图，E、F、G、H分别为AB、AD、CD、PC的中点，（1）问四边形EFGH的形状；（2）若AC⊥BD，则（1）中四边形的形状如何？12.如图，BE 平分△ABC 的外角，BF 平分∠ABC ，AE ⊥BE 于E 点，AF ⊥BF 于F 点， （1）求证：四边形AEBF 是矩形； （2）求证：EF ∥BC .三．矩形的性质与判定13.如图，矩形ABCG 中，点D 是AG 的中点，DE ⊥CD 交AB 于E ，BE ＝BC ，连CE 交BD 于F ，求证：（1）BD ＝CD ；(2)∠BDC ＝45°；（3）DE ＝DF ；(4)21=∆∆DEF ADE S S .14. 如图，矩形ABCG 中，点D 为AG 上一点，且BD ＝BC ，ED 平分∠ADB ，交AB 于E ，BN ∥DE ，交CE 于N .（1）求证：CD ⊥DE ； (2) 求证：EN ＝CN ； (3) 求证：∠AED ＝∠BEC .15. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，AB ＝6，AD ＝8. (1) 求BD 的长； （2）求AE 的长.16. 如图，四边形ABEC中，∠BAC＝∠E＝90°，AD⊥BE于点D,(1) 若BD＝3，求AD－CE的值；(2) 若S四ABEC＝16，在（1）中，求AB的长.17. 如图，矩形ABCD中，E在BC上，AB＝3，AD＝5，CE＝1，DF⊥AE于F，求DF的长.问题探究18.已知等腰三角形ABC和DBE的底角共顶点，AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE，以线段AD和AC为邻边作□ACFD，连接CE.(1)如图1，B、D、C依次在同一条直线上，若∠BAC＝∠BDE＝60°，则∠ECF＝_______;(2) 如图2，B、D、C依次在同一条直线上，若∠BAC＝∠BDE＝90°，则∠ECF＝_______; 请你完成（1），（2）两个命题，并从中任选一个进行证明.19.已知等腰△ABC 和等腰△ADE ，CA ＝CB ，AD ＝AE ，∠ACB ＝∠DAE ＝α，以AB 和AD 为邻边作□ABFD ，连接CE 、CF .(1)如图1，当α＝90°，且C 、A 、D 依次在同一条直线上，求∠CFD ＝_______，CFEF＝_______ (2)如图2，当α＜90°，且C 、A 、D 不在同一条直线上，求∠CFE ，并证明.20. 如图，AB ∥CD ，∠D ＝90°，AB ＝AC ，AE ＝AD ，且∠CAE ＝90°，连BE 交AC 于F 点. (1) 求证：BF ＝EF ；(2) 如图2，若点N 为BC 的中点，求BDFN. (3) 如图3，若点M 为AE 的中点，BM 交AC 于点P ，求BPMP.第7讲斜边上的中线专题一、知直角和中点，构造斜边上的中线1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，CE为△ACB的中线，若AC＝16，BC＝12，求CE、CD的长.2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，M为AB的中点，MN⊥DE于N.（1）求证：EN＝DN. （2）当∠C大于90°时，画图证明上述结论仍然成立.3.如图，正方形ABCD，点P为CD上一动点，AP交BC延长线于E，N为PE的中点. （1）问CM与CN有何位置关系，并证明.（2）若P点在DC的延长线上，其它不变，问上结论是否仍成立，画图证明.4.如图，Rt△ABC，∠BAC＝90°，M为BC的中点，过A点任作直线l（与BC边相交），BD ⊥l于点D，CE⊥l于点E.（1）求证：MD＝ME；（2）当直线l与线段BC不相交时，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论.5.如图，已知ABCD中，AE⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为E、N，且AE＝BE，AN、BD交于点O，∠ADB＝15°.（1）求证：∠FAO＝45°；（2）求证：DF＝22AE.6.如图，Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB＝∠AFB＝90°，O为AB的中点，连EF、OE. （1）如图1，∠EAF＝α，求∠OEF；（2）如图2，若∠EAF＝α，求∠OEF.7.如图，△ACB为等腰直角三角形，△PBE也为等腰直角三角形，M为AP的中点.（1）求证：CE＝2CM；（2）若△PBE绕B点旋转一个锐角，问以上结论是否成立，并画图证明.8.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D点，AF平分∠BAC交CD、CB于E、F.（1）若AC＝8，BC＝5，求CE的长；（2）若M、N分别为AC、EF的中点，求证：DM ＝MN.6．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，CD ⊥AB 于D ，E 为AB 的中点. 求证：DE ＝21BC .二、知等腰和中点，产生直角构造斜边上的中线. 10.已知，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，点N 为AB 的中点. （1）如图1，过N 作NM ⊥CD 于M ，求证：CM ＝DM ；（2）如图2，过A 、B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，求证：CE ＝DF ；（3）如图3，在（2）的条件下，将△ABC 沿直线AB 翻折，问（2）中结论是否仍成立？请证明你的结论.11.已知，矩形ABCD ，AB ＝4，BE 、CF 分别平分∠ABC ，∠BCD ，交AD 于E 、F ，BE 、CF 相交于G 点，EG ＝22，求BC 的长.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点，PM 、QN 的中点分别为E 、F .求证：EF ∥AB .第8讲菱形一、菱形的判定1.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，ED⊥BC交AC于F，DF∥AB 交AC于F.求证：四边形AFDE为菱形.2.如图，□ABCD，AE、BF分别为∠A、∠B的平分线.求证：四边形ABEF为菱形.3.若四边形ABCD的中点四边形为矩形，则四边形ABCD需满足条件_________________，并画图证明.4.若四边形ABCD的中点四边形为菱形，则四边形ABCD需满足条件__________________，并画图证明.5.如图矩形ABCD的对角线相交于O点，E、F分别在AD、BC上，EF过O点，EF⊥BD. （1）判定四边形DEBF的形状；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形DEBF的周长.6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CH⊥AB于H，交AD于F，DE⊥AB于E.（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AC＝8，AB＝10，求EF的长.二、菱形的性质7.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AC＝43，求菱形的周长.8.如图，菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝15°，求∠CEF.9.如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G.（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形.10.如图，菱形ABCD ，∠A ＝60°，M 、N 分别在AD 、DC 上，且∠BMN ＝60°.（1）求证：BM ＝MN ； （2）若M 、N 分别在DA 、CD 的延长线，上述结论是否成立，请说明理由.11.已知菱形ABCD ，∠BAD ＝120°，BD ＝43.（1）求AB 的长； （2）E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠EAF ＝60°，求CE ＋CF ； （3）当点E 在BC 何位置时，S △AEF 最小并说明理由，并求出最小值.12.如图，□ABCD 中，BC ＝2CD ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，若∠EFD ＝k ∠AEF ，求k 的值.13.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H .（1）求证：△AED ≌△DFB ； （2）求证：S 四边形BCDG ＝43CG 2.第9讲平行四边形、矩形、菱形（全国各地中考题汇编)—、平行四边形1.(2012乌鲁木齐）如图，在周长为20中，AB＜AD，AC与BD交于点O, OE 丄BD，交AD于点E，求△ABE的周长.2.(2012乌鲁木齐）如图,E、F对角线AC上的两点，且BE//DF，求证：BF=DE.3.(2011中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE//DF,若∠EBF=45°，求∠EDF的度数.4.(2012河南）如图，在菱形ABCD中，AB=2, ∠DAB= 60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形.二、矩形、菱形5.(2012吉林）如图1，在△ABC 中，AB =AC , D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边，连接 AD ，EC .(1) 求证：△ADC ≌△ECD(2) 如图2，若BD =CD , 求证：四边形ADCE 是矩形.E BC DA EBCDA6.(2012西宁）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =12，BD =16，E 为AD 的中点，点P 在x 轴上移动.小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的P 点坐标为（一5，0)和(5, 0).求出其余所有符合这个条件的P 点的坐标.7.(2012宁夏）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE 丄AC 于E ，∠EDC : ∠EDA =1 : 2，且AC =10，求DE 的长.8. (2012兰州）如图，四边形ABCD 中，∠BAD =120°, ∠B =∠D =90°.在BC 、CD 上分别找一点M 、 N ,使△AMN 周长最小时，求∠AMN +∠ANM 的度数.9.(2011乌鲁木齐）如图，中，∠DAB=60°，AB=2AD,点E、F分别是AB、CD 的中点，过点A作AG//BD，交CB的延长线于点G.(1) 求证：四边形DEBF是菱形；(2) 请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明.10. (2011甘肃兰州）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD (AD＞AB),将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE.(1) 求证：四边形AFCE是菱形；cm，求△ABF的周长；(2) 若AE=10cm ,△ABF的面积为24211.(2011南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm, E是AB中点，且DE丄AB,求菱形ABCD 的面积.12.(2011的边DC延长到点E, CE=DC,连接AE，交BC于点F.(1) 求证：△ABF≌△ECF(2) 若∠AFC=2∠D，连接AC、BE.求证：四边形ABEC是矩形.13.(2011哈尔滨）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, ∠AOB= 60°, AB = 5,求AD的长.14. (2011株洲）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO 的延长线交BC于Q. (1) 求证：OP=OQ;(2) 若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D 重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形.问题探究15.在平行四边形ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE =DF, 且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC, N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.(1) 如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；(2) 如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1)中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1)中的结论.16. 如图1,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG，使B点正好落在CD上的点E 处，连BE.(1) 求证：∠BAE =2∠CBE.(2) 如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN，AF, 试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论；(3) 若AB=5，BC=3,直接写出BG的长第10讲 正方形专题（一)一、正方形与全等1. (2011沈阳）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且AE =EF =F A .(1) 求证：△ABE ≌△ADF ; (2) 求证：CE =CF ;(3) 求证：∠AEB =75°; (4) 求证：CEF ADF ABE S S S ∆∆∆=+.2. (2011贵阳）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ,延长BE 交边AD 于点F .(1) 求证：△ADE ≌△BCE ; (2) 求∠AFB 的度数.3. (2010青岛）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE =AF .(1) 求证：BE =DF ;(2) 连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM 、FM .判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论.4. (2010长沙）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.(1) 求证：△BEC≌△DEC;(2) 延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数.5. (2010乌鲁木齐）如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE,且与正方形外角平分线AG交于点P.(1) 当点E坐标为（3，0)时，试证明GE=EP;(2) 如果将上述条件“点E坐标为（3，0)”改为“点E坐标为(t,0) (t＞0)”，结论CE=EP是否仍然成立，请说明理由；(3)在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M 的坐标；若不存在，说明理由.二、正方形与勾股定理结合6. (2012攀枝花）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC 上一动点，求PE+PB的最小值.7. (2011重庆）如图，正方形ABCD 中，AB =6,点E 在边CD 上，且CD =3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ,连结AG 、CF .(1) 求证：△ABG ≌△AFG ; (2) 求证：BG =GC ;(3) 求证：AG //CF ; (4) 求 PGC S ∆.8.如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，AF 交BD 于H ，EH 丄AF 交BC 于E ,连AE .(1) 求证：∠EAF =45°;(2) 连EF ，作∠EFC 的平分线FG 交AE 的延长线于G ，连CG ，求证：CG 2: (3) 在(2)的条件下，若F 是DC 的中点，AB =4，直接写出EG 的长HDAFE CDAECDAF方法运用(一）知45°作垂线构造等腰直角三角形9. 如图，正方形ABCD .点E 为正方形外一点，△ADE 为等边三角形，连BE ，AM 丄DE 交BE 于P 点，连CP .（1）求∠APB 的大小； （2）求证：AP 丄CP .10.如图，将上题中的条件“等边三角形△ADE ”改为“AE =AD ”，且点E 在正方形内部，上述两个结论是否仍成立，并证明.BC(二）线段和差的常规处理方法11.已知正方形ABCD ,点E 、F 分别为边BC 、AB 上一点，且CE =BF . （1）如图1，求证：DE 丄CF ;（2）如图2，若BG =BF ,CF 交BD 于Q 点，QG 交DE 于P 点，求证：PE =PG ; : （3）如图2，若H 为PD 的中点，在（2)中，求CQ BQDQ +的值，如图（2).B ADC EAD问题探究12. 如图，四边形ABCD ，AD //BC ,点E 在AB 上，点F 在BC 上，∠EDF =a ，EM //BC 交DF 于M 点.（1）如图1，当四边形ABCD 是正方形，a =45°时，求证：EM =AE +CF ; （2）如图2，当四边形ABCD 是等腰梯形，边AB =AD =AC , ∠BAD =120°, a = 60°时，(1)中结 论是否仍成立？请说明理由.MF DA BCEM FCBD A E13.(2010武汉4月调考)如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG ⊥AP 于点G ，在AP 的延长线上取点E ，使AG =GE ,连接BE ，CE .(1) 求证：BE =BC ; （2）∠CBE 的平分线交AE 于点N 点，连接DN . 求证：BN +DN =2AN ;（3) 若正方形的边长为2,当P 点为BC 的中点时，请直接写出CE 的长为 .。