人教版八年级数学下册
18.2.2.2 菱形的判定
培优训练
一、选择题（共10小题，3*10=30）
1．下列命题中，正确的是( )
A．有一个角是60°的平行四边形是菱形
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
2．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，AB＝13，AC＝24，DB＝10，则四边形ABCD是() A．一般的平行四边形B．长方形C．菱形D．形状不能确定
3. 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( )
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A、①③
B、②③
C、③④
D、①②③
4. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AC⊥BD B．AB＝AD
C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有()
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
6. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()
A．AC⊥BD B．AB＝AD
C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
7. 如图，将▱ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是() A．AF＝EF B．AB＝EF
C．AE＝AF D．AF＝BE
8. 四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是( )
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
9．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为()
A．52 cm B．40 cm
C．39 cm D．26 cm
10. 如图，分别以Rt△ABC的斜边AB和直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠BAC＝30°.给出以下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG; ④FH＝1
4BD.其中正确的结论是()
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．
12. 如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，则四边形OCED 的形状是_________．
13. 如图,在长方形ABCD中,AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,若CF=4,且△EFG 为等腰直角三角形,则EF的长为_________．
14. 如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为_________．
15．下列命题：
①四边都相等的四边形是菱形；
②两组邻边分别相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
④对角线相等的四边形是菱形；
⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中正确的是__________(填序号)．
16. 把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，
17. 如图,把长方形纸片ABCD折叠,使其对角顶点C与A重合.若长方形的长BC为8,宽AB为4,则折痕EF的长度为_________．
18. 在菱形ABCD中，AE为BC边上的高，若AB=5，AE=4，则线段CE的长为．三．解答题（共7小题，46分）
19．(6分)如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2 cm，求平行四边形ABCD的周长为.
20．(6分) 如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF.求证：四边形BEDF是菱形；
21．(6分) 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D分别作DE∥AC、DF∥AB，分别交AB、AC于点E、F.求证：四边形AEDF是菱形．
22．(6分) 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，
使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.
求证：四边形AEDF是菱形．
23．(6分) 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．
24．(8分) 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．
25．(8分) 如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再折叠一次，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.
求证：(1)∠ABE＝30°；(2)四边形BFB′E为菱形．
参考答案
1-5DCACC 6-10 CCCAC
11. AB=AD或AC⊥BD
12. 菱形
13.10 2
14.3
15. ①③⑤
16. 60
17.2 5
18. 2或8
19. 解：如图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴AD＝DC，
四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8.
20. 证明：连接BD，交AC于O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AE＝CF，∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形；
21. 证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠EDA＝∠BAD，
∴四边形AEDF 是菱形．
22. 证明：(方法不唯一)由折叠性质知：AE ＝DE ，AF ＝DF ， ∴∠DAE ＝∠EDA ，∠ADF ＝∠FAD ， ∵∠DAE ＝∠FAD ，
∴∠DAE ＝∠ADF ，∠DAF ＝∠EDA ， ∴DF ∥AE ，DE ∥AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形， ∵AE ＝DE ，∴四边形AEDF 是菱形
23. (1)证明：∵在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，BD ＝8，∴AO ＝1
2AC
＝3，BO ＝1
2BD ＝4，
∵AB ＝5，且32＋42＝52， ∴AO 2＋BO 2＝AB 2，
∴△AOB 是直角三角形，且∠AOB ＝90°， ∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形． (2)解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC ＝AB ＝5，
∵S △ABC ＝12AC·BO ＝12BC·AH ，∴12×6×4＝1
2×5×AH ，
解得：AH ＝24
5
.
24. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝90°， AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，
在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AE ＝CF ，AB ＝CD ，
∴Rt △ABE ≌Rt △CDF(HL)
(2)解：当AC ⊥EF 时，四边形AECF 是菱形，理由如下： ∵△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF ， ∵BC ＝AD ，∴CE ＝AF ， ∵CE ∥AF ，
∴四边形AECF 是平行四边形， 又∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形
∴∠AEB＝∠A′EB.
∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.
∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，
∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°，
∴∠ABE＝30°
(2)∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，
∴BE＝B′E，BF＝B′F.
∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠FEB′＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，
∴四边形BFB′E为菱形。