随机变量及其分布考点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第二章 随机变量及其分布 复习一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x),2,1( =i x 的概率p x P ==)(ξ.,2,1,01=≥i p 121=++++ i p p p 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题：1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1)cP k k k k ξ===+……，则P(13)____ξ≤≤=2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为17，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。
（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。
4、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．2()p K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)二、几种常见概率1、条件概率与事件的独立性（1）B|A 与AB 的区别：__________________（2）P(B|A)的计算公式_____________,注意分子分母事件的性质相同 （3）P(AB)的计算公式_____________注意三点：前提，目标，一般情况___________________（4）P （A+B ）的计算公式__________注意三点：前提，目标，一般情况____________________典型例题：1、市场上供应的灯泡，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率80%，则从市场上买到一个是甲厂产的合格品的概率是多少？2、把一副扑克52张随即均分给赵钱孙李四家，A={赵家得到六章草花}，B={孙家得到3张草花}，计算P(B|A)，P(AB)3、从混有5张假钞的20张百元钞票中任取两张，将其中1张在验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率。
4、有外形相同的球分装在三个盒子，每个盒子10个，其中第一个盒子7球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中五个红球五个白球；第三个盒子八个红球，两个白球；在如下规则下：先在第一个盒子取一个球，若是A 球，则在第二个盒子取球；如果第一次取出的是B 球，则在第三个盒子中取球，如果第二次取出的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率。
5、在图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是________6、甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率？三、几种分布1. ⑴独立重复试验与二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n ·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;q p C kn k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.2. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1 ==-k p q k 于是得到随机变量ξ的p q p)g(k,= 3,2,1.1=-=k p q 3. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C r m =，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n ≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k C C C k)P(ξn ba kn bk a =⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有n b a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含kn k k n ba C -个结果，故n ,0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nkn k k n =+-+=+==--，即η～)(b a a n B +⋅.[我们先为k 个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 典型例题：1、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率2、在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。
假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。
（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX。
3、A 、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。
每个试验组由4只小白鼠组成，其中两只服用A，两只服用B，然后观察疗效。
若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。
设每只小白鼠服用A有效的概率为2/3，服用B有效的概率为1/2.（1）求一个试验组为甲类组的概率。
（2）观察3个试验组，用ξ表示3个试验组中甲类组的个数，求ξ分布列4. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0<p<1）。
他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。
求他射击次数的分布列。
5、、由180只集成电路组成的一批产品中，有8只是次品，现从中任抽4只，用ξ表示其中的次品数，试求：（1）抽取的4只中恰好有k只次品的概率；（2）求ξ分布列.二、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ1x 2x …i x …P1p 2p … i p …++++=n n p x p x p x E 2211ξ.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ. ⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1）⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）⑸几何分布：pE 1=ξ 其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：0=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2p q D =ξ5. 期望与方差的关系.⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）0=-=ξξE E . 典型例题：1、 如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p ； （Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．ξ 0 1 P q pξ 0 1 P q p2、一名小学教师为了激发学生阅读名著的热情，在班内进行名著和其作者的连线游戏，作为奖励，参加连线的同学每连对一个奖励一朵小红花。