一、概率公式的题目1、已知()()()0.3,0.4,0.5,P A P B P AB === 求().P B A B ⋃解：()()()()()()()()0.70.510.70.60.54P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --⋃====+-⋃+-2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求().P A A B ⋃解：()()()()()()()0.220.70.29P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ⎡⎤⋃⎣⎦⋃====+⋃+-。

3、已知随机变量(1)X P :，即X 有概率分布律{}1(0,1,2)!e P X k k k -===L ，并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。

求：（1）()P A B ⋃； （2） ()P A B -； （3） ()P B A 。

解：（1）()(){}{}111()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -⋃=-⋃=-=-<≥=-==-；（2）(){}{}{}{}1()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==-（3）()()(){}{}{}{}{}111,201.20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<======<=+= 5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统,A B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。

解：设=A “系统A 有效”,=B “系统B 有效”,()()()0.92,0.93,0.85P A P B P B A ===,()()()()()()()()()()1.0.988P A B P A P B P AB P A P AB P A P A P B A ⋃=+-=+=+=()()()()()()()()()()()0.070.080.152.0.8290.07P ABP B P A P B A P B P AB P A B P B P B P B ---⨯===== 6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为415，刮风（记作事件B ）的概率为715，既刮风又下雨的概率为110，求()()()(1);(2);(3)P A B P B A P A B ⋃。

解：()()()1310(1)71415P AB P A B P B ===；()()()1310(2)4815P AB P B A P A ===()()()()47119(3)15151030P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=。

7.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 8. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯9.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯10.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7二、已知密度（函数）求概率的题目1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥=1000100100)(2x x x x f ，　，　，任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。

解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为设Y 为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则)32,3(~B Y .故有 2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量X ，它的分布密度为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他0101122x x x x f ，若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？解：每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。

所以{}()()1120.80.80.81210.0272P X f x dx x x dx >==-=⎰⎰。

令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。

则)32,5(~B Y ，{}24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155=-=⨯+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅+-==+=-=<-=≥C Y P Y P Y P Y P三、分布函数、密度函数的题目1、设随机变量X 的分布函数为0()arcsin1x a x F x A B a x aa x a≤-⎧⎪⎪=+-<≤⎨⎪>⎪⎩，(1) 求系数A ，B ； (2) 求22aa P X ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； (3) 求X 的分布密度。

32100100)()150(1501502150=-===>=∞+∞+∞+⎰⎰ xdx x dx x f X P p 278)31()32()3(0333=⋅==C Y P解：（1）由F(x)在,a a -处的右连续性知⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1202B A B A ππ 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==π121B A （2）122223a a a a P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<<=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭（3）因为)()('x F x f =，则()0x af x x a<=≥⎩2设随机变量X 的分布函数为 ()20,0,011,1x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩，求：)1(常数A ； )2({}0.30.7P X <<； )3(X 的密度函数()f x 。

解：（1）由分布函数的右连续性知：()()11lim 1x F A F x +→===，所以1A =； （2）{}()()0.30.70.70.30.4P X F F <<=-=； （3） ()2,01()0,x x f x F x <<⎧'==⎨⎩其它。

3设连续性随机变量X 的分布函数为 2,0()0,0.x A Be x F x x -⎧+>=⎨≤⎩ ，求：(1)常数A ，B ； (2){11}P X -<<； (3) X 的密度函数()f x 。

解：（1）由分布函数的右连续性及性质知：()()()()20000lim lim 1lim xx x x F F x A Be A B F F x A ++-→→→+∞⎧===+=+⎪⎨+∞===⎪⎩，所以0111A B A A B +==⎧⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩； （2）{}()()211111P X F F e --<<=--=-；（3） ()22,()0,0x e x f x F x x -⎧>'==⎨≤⎩。

5随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00)(,x x e x f x ；求2X Y =的概率密度． 、解：分别记X ，Y 的分布函数为F X (x )，F Y (y )由于y =x 2≥0，故当y ≤0时，F Y (y )=0 当y =x 2>0时,有F Y (y )=P (Y ≤y )=P (X 2≤y )=P (-y ≤X ≤y )=yyx yyX e x d e x d x f ----==⎰⎰1)(0将F Y (y )关于y 求导数，即得y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>='--='-=---其它00,21)()1()(y e y y e e y f y yy Y7（12分）设A 、B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P B P A P ；令⎝⎛= ⎝⎛=不发生发生；；不发生发生B 01A 01B Y A X求1、二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布；2、判定X 与Y 是否相互独立 解：1213141)()()(}11{P =⨯=====A B P A P AB P Y X ， 6112141)()()()(}01{P =-=-=-====AB P A P B A P B A P Y X ， 12112161)()()()()()()(}10{P =-=-=-=-====AB P B A P AB P AB P B P A B P A B P Y X ，32)()()(1)(1)()(}00{P =+--=+-=+====AB P B P A P B A P B A P B A P Y X ，因为21}0{P }0{P 32}00{P ===≠===Y X Y X ，，则X 与Y 不相互独立………12分8维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表2 5 8 P {Y=y i }0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯g 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.X Y1 2 1 18b2 a14 312418⑴ 求,a b 应满足的条件； ⑵ 若X 与Y 相互独立 ，求 a,b 的值. 【思路】 先利用联合分布律的性质1ijijp=∑∑确定a,b 应满足的条件，再利用独立性的定义来求出a与b.【解】⑴ 因为1iji jp =∑∑，所以 11111,84248b a +++++= 因此 11.24a b += ⑵ 由于 X 与Y 相互独立，即对所有,i j x y 有 ()()(),,i j i j P X x Y y P X x Y y ===== 于是 ()()()112,121,46a P X Y P X Y a a ⎛⎫⎛⎫=======++⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得 112a =或1.2a =同理 ()()()131,212,88b P X Y P X Y B b ⎛⎫⎛⎫=======++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得 18b =或3.8b = 再由11.24a b +=知 13,128a b == 【解毕】 XYXY【技巧】 由于X 与Y 的独立性，故对所有的,i j x y 应有()()(),,i j i j P X x Y y P X x Y y ===== 因此，我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数，例如()13,1,24P X Y ===而()()1131,66P X Y a ⎛⎫===•+ ⎪⎝⎭可求得1;12a =又()13,2,8P X Y ===而18求得3.8b =这种参数的确定方式，需要读者熟练掌握. 10、 变量X 与Y 相互独立 ，下表列出了二维随机变量(),X Y 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空间处：【思路】 利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从11,86p +=求得11,24p =再利用独立性知1111.6p p =⨯g 从而知11,4p =g 等等.【解】 利用;i ij j ij jip p p p ==∑∑g g 以及 1i j ijp p ==∑∑g g 与独立性 ij i j p p p =g g . 求解空格内的数值，故11111111111,,68246p p p p p =-===⨯g g g 即11,4p =g 又由121,p p +=g g 可得2131.44p =-=g 反复运用上列公式，可求得 1322232313111,,,,.128423p p p p p =====g g将算得的数值填入表中的空格内，即得12、随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度.【解】()(,)dXf x f x y y+∞-∞=⎰x24.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他()(,)dYf y f x y x+∞-∞=⎰12y4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他13维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=⎩⎨⎧<<-.,0,,其他e yxy求边缘概率密度.【解】()(,)dXf x f x y y+∞-∞=⎰e d e,0,=0,.0,y xxy x+∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他()(,)dYf y f x y x+∞-∞=⎰e d e,0,=0,.0,y yxx y y--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他16 知随机变量X和Y联合概率密度为()4, 01,01,,0,xy x yf x y≤<≤<⎧=⎨⎩其他求⑴ 条件密度()||X Y f x y 及()||;Y X f y x 【解】⑴ 由于X 的边缘密度为()()14, 012, 0 1,0, 0, X xydy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧≤<≤<⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他.其他同理，有 ()()2, 01,,0, Y y y f y f x y dx +∞-∞≤<⎧==⎨⎩⎰其他 故当01y <<时，()Y f y >0，且 ()()()|4, 01,,2|0, X Y Y xyx f x y yf x y f y ⎧≤<⎪==⎨⎪⎩其他从而，在{}Y y =条件下，X 的条件密度为 ()|2, 01,01,|0, X Y x x y f x y ≤<<<⎧=⎨⎩其他同样可得，在{}X x =条件下，Y 的条件密度为 ()|2, 01,01,|0, Y X y y x f y x ≤<<<⎧=⎨⎩其他17、（12分）随机变量X 和Y 均服从区间[0，2]上的均匀分布且相互独立．1．写出二维随机变量（Y X ,）的边缘概率密度和联合概率密度．2．求}23{≤+Y X P ． 解：(1)由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,020,21)(x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,020,21)(y y f Y 又∵ X,Y 相互独立∴ f (x , y )=f X (x )f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤其它,02020,41y x(2) y d x d y d x d y x f Y X P y x y x ⎰⎰⎰⎰≤+≤+==≤+232341),(}23{=y d x d x ⎰⎰-23023041=329四、正态分布、中心极限定理、1、调查某地方考生的外语成绩X 近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3% 。