概率论与数理统计作业及解答第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹•设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示• 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC;或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ).(和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB)2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝.C 6 (C 2 )6 32C 8C 4(C 2)4 800.2238, P(B) 8 皆 0.5594,P(A) 8/143★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品•现从中任取3件•求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99⑴冷0.724.⑵虫产0.2526. C 50 1960C 503925. 从1〜9九个数字中•任取3个排成一个三位数•求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率•4(1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-,9⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5,9或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5.9 96. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝.1 12 C m C M m C mm(2M - m -1)M (M -1)6 —C 16143P(C)二 C 8CJC 2)300.2098.143C 16C 2 iC 2⑴ P(A)=# 詁;(2) P(B )X =C 10 12C 107. 袋中有红、黄、白色球各一个 每次从袋中任取一球.记下颜色后放回 共取球三次 求下列事件的概率：A=｛全红｝ B =｛颜色全同｝ C =｛颜色全不同｝ D =｛颜色不全同｝ E =｛无 黄色球｝ F =｛无红色且无黄色球｝ G =｛全红或全黄｝.1 11A 3!2 8P (A)=3^2?P (B )=3P (A )=9, P(C^#=?=9, P(DH ^P(BH?28 1 1 2P(E)亏方P(F)亏审 P(G r 2P(A)盲☆某班n 个男生m 个女生（m^n 1）随机排成一列•计算任意两女生均不相邻的概率☆ •在[0 ■ 1]线段上任取两点将线段截成三段•计算三段可组成三角形的概率14第二次作业1.设 A B 为随机事件 P(A)=0.92 ■ P(B)=0.93 P(B|Z)=0.85 求 ⑴ P(A|B) (2) P (AU B) ■ (1) 0.85 =P(B| A) =P(A B )P (AB ),P (A B )=0.85 0.08=0.068,P(A) 1-0.92P(AB)二 P(A) -P(AB)二 P(A) - P(B) P(AB) = 0.92 -0.93 0.068 = 0.058,P(A| B): = P(AB) = 0.。

58胡.83. P(B) 1-0.93(2)P(AUB) =P(A) P(B)-P(AB) =0.92 0.93-0.862 = 0.988.2.投两颗骰子 已知两颗骰子点数之和为7求其中有一颗为1点的概率. 记事件 A 二{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} , B 二{(1,6),(6,1)}2P(B|A)話★在1 — 2000中任取一整数•求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率 记事件A 珂能被5除尽｝, B 珂能被7除尽｝.400 1 命碱 一2000] 285 57 一2000] 57P （A ） ,取整285, P （B ） , 57, P （AB ） , 2000 51 7」 2000400 厅 7」2000p （AB ）=P （A U B ）=1 -P （A U B ） =1 _P （A ） _P （B ）P （AB ）1 5757=1 一丄一竺 570.686.5 400 2000120285 573. 由长期统计资料得知•某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15刮风（用B表示)的概率为7/15 .既刮风又下雨的概率为1/10 .求P(A|B)、P(B|A)、P(A B).P (A|BrfO=如仝，P(B|ArP(AB)_1/10_3,P(B) 7/1514P(A) 4/15 847 1 19P(AUB) =P(A) P(B)-P(AB)二喜 ---=--.15 15 10304 .设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是 1/2若第一次落下未摔破 第二次落下时摔破的概率是7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是 9/10 .试求落下三次而未摔破的概率•记事件A =｛第i 次落下时摔破｝ i =1,2,3.P(AA 2A 3)= P(AjP(A 2 |A 1)P(A 3 |入1入2)=5 ■设在n 张彩票中有一张奖券 有3个人参加抽奖 分别求出第一、二、三个人摸到奖券 概率•记事件A =｛第i 个人摸到奖券｝ i =1,2,3.一 1 由古典概率直接得 P(A 1HP(A 2^P(A 3) .nn _ 1 11或P(A2)=P(A 1A2)=P(A 1)P(A 2|A 1),n n -1 nn -1 n - 2 1 1P(A 3)=P(A^A 2A 3^ P(A 1)P(A 2 | A 1)P(A 3 | A 1A 2)=n n —1 n —2 n1或 第一个人中奖概率为p (A )二-,n2 1前两人中奖概率为 P(A 1 A 2H P(A 1) P(A 2^-,解得P(A 2)= —,n n31 前三人中奖概率为 P(A 1 A ， A 3^P(A 1) P(A 2) P(A 3) ,解得 P(A 3). nn6甲、乙两人射击•甲击中的概率为08.乙击中的概率为07・两人同时射击•假定中 靶与否是独立的 求(1)两人都中靶的概率・(2)甲中乙不中的概率-(3)甲不中乙中的概率• 记事件A=｛甲中靶｝ B=｛乙中靶｝.(1) P(AB)二P(A)P(B) =0.7 0.7 =0.56, (2) P(AB)二 P( A) -P( AB) =0.8 -0.56 =0.24, (3) P(AB)二 P(B) -P(AB) =0.7 -0.56 =0.14.★ 7 -袋中有a 个红球b 个黑球•有放回从袋中摸球•计算以下事件的概率 (1) A 冗在n 次摸球中有k 次摸到红球｝-.1.7.9 1 1 1 ——2 . 10 . 103 200(2) B=｛第k次首次摸到红球｝(3) C冗第r次摸到红球时恰好摸了k次球｝■次.已知他至少命中一次的概率为80求该射手射击81次命中目标的概率.彳 4 , 80 1 1 , 2 P,q =1_'P.q 1 , q ,p=1-q81 813 39 ■设某种高射炮命中目标的概率为 0.6问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以 0.99的概率命中目标(1-0.6)n =d -0.99, 0.4n <0.01,由 0.4^0.01024, 0.46 < 0.01,得 n _ 6.☆.证明一般加法(容斥)公式nP(IX A )八 P(A)，P(AA j ) ' P(AA j A k )…(-1)2卩心：,).i4i <ji d<k证明只需证分块人Ili A kA jIl An UAjIL A k只计算1次概率.(i 1川，i n 是1川,n 的一 个排列k =1,2,HI,n.)分块概率重数为AJIIA 中任取1个-任取2个(-1厂任取k 个即c：-C ：+川+(—1)k」c ；=1u1 _c k +C ：+川+(_1)k c ： =(1_1)k =0.将u,n 互换可得对偶加法(容斥)公式nP( IX A )P(A)」P(A UA j ) •P (A UA jU A k )……(-1)n 'pQ 角A).i=1i <ji g☆.证明 若A B 独立A C 独立•则A B U C 独立的充要条件是 A BC 独立. 证明P(A(B UC))二 P(AB UAC)二 P(AB) P(AC) -P(ABC)二P(A)P(B) P(A)P(C)-P(ABC) 充分性•二：P(A(B U C )) =P(A)P(B) P(A)P(C) _P(ABC),代入 P(ABC) = P(A)P(BC) 二 P(A)(P(B) P(C)-P(BC))二 P(A)P(BUC),即 A, BUC 独立.必要性=：P(A(B Uc)) =P(A)P(B U C )工 P(A)(P(B) P(C) - P(BC))= P(A)P(B) P(A)P(C) -P(A)P(BC) =P(A)P(B) P(A)P(C) -P(ABC) P(ABC) =P(A)P(BC),即代 BC 独立.J _kCnP (A )=Ck —2+b J(a +b Jk」 k J a ab P(B八 代 r^ =(r^^； J 产-^-rP (C2C ；4a+b 八 a+ba kb n -(a b)nr k _rAab二(a b)k .8 一射手对一目标独立地射击 4 设射击一次命中目标的概率为☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A U B 、AB 及A — B 都与C 独立. 证明因为P[(A ljB)C]二 P(AC UBC)二 P(AC) P(BC) -P(ABC) = P(A)P(C) P(B)P(C) -P(A)P(B)P(C) -[P(A) P(B) -P(A)P(B)]P(C) = P (A U B )P (C )P[(AB)C] =P(ABC) =P(A)P(B)P(C)二[P(A)P(B)]P(C)=P(AB)P(C)P[( A _B)C] =P(AC _B) =P(AC) _P(ABC) =P(A)P(C)_P(A)P(B)P(C) = [P(A) _P(AB)]P(C) = P(A _B)P(C)所以A U B 、AB 及A — B 都与C 独立. 第三次作业1 •在做一道有4个答案的选择题时.如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测 . 设他知道问题的正确答案的概率为 P .分别就P =0.6和p =0.3两种情形求下列事件概率： (1) 学生答对该选择题；⑵已知学生答对了选择题 求学生确实知道正确答案的概率• 记事件A=｛知道问题正确答案｝ B =｛答对选择题｝. (1) 由全概率公式得 P(B^P(A)P(B| A) P(A)P(B|A)0.70 •当报警系统B 单独使用时•其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下•报 警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率：(1)两种报警系统都有效的概率；(2)在报警系 统B 有效的条件下.报警系统A 有效的概率；(3)两种报警系统都失灵的概率.P(A) =0.7,P(B) =0.8,P(B| A) =0.84.P(AB) =P(A)P(B| A) P7 0.84 =0.588,P(A|B)=週-呻P(B)1 3P _ 1 .3 0.6 _ 7 = 0.7,—— 4 4 4 4 101 3p1 3 0.3 19 = 0.475+4 44 440当 p =0.3 时 P(B)=当 p =0.6 时 P(B)二 (2)由贝叶斯公式得P(A|B)=鵲1 3p 1 3p 4 4当 p =0.6 时 P(A|B)二 4p—4 0.6—61 3p _1 3 0.6 一 7 '当 p=0.3 时 P(A| BH4 0.3121 3p 13 0.319.2 ■某单位同时装有两种报警系统 A 与B 当报警系统A 单独使用时.其有效的概率为(1) 0.735,0.8P(AB) =P(A UB) =1 - P(AUB) =1 - P(A) -P(B) P(AB)J -0.7-0.8 0.588 = 0.088.☆.为防止意外•在矿内同时设有两种报警系统 A 与B 每种系统单独使用时•其有效的 概率系统A 为0, 92 .系统B 为0.93 .在A 失灵的条件下.B 有效的概率为0.85,.求：⑴ 发生意外时.两个报警系统至少有一个有效的概率• (2) B 失灵的条件下.A 有效的概率3 .设有甲、乙两袋.甲袋中有n 只白球.m 只红球•乙袋中有N 只白球.M 只红球 从甲袋中任取一球放入乙袋.在从乙袋中任取一球•问取到白球的概率是多少， 记事件A=｛从甲袋中取到白球｝ B =｛从乙袋中取到白球｝. 由全概率公式得P(B) = P(A)P(B|A) P(A)P(B | A)n N+1 m N n + N(n +m) - ------- -------------- ---------- ------------- - -------------------------- n mN M 1 n mN M 1 (n m)( N M 1)☆.设有五个袋子•其中两个袋子•每袋有2个白球• 3个黑球•另外两个袋子•每袋有1 个白球.4个黑球.还有一个袋子有4个白球.1个黑球,(1)从五个袋子中任挑一袋.并从 这袋中任取一球.求此球为白球的概率.(2)从不同的三个袋中任挑一袋.并由其中任取 一球.结果是白球.问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少 ？★ 4、发报台分别以概率0 6和0 4发出信号“ •及由于通信系统受到于扰•当发 出信号“ •时.收报台分别以概率0 8及0 2收到信息“及“”；又当发出信号 “ 时•收报台分别以概率0 9及0l 收到信号 “”及“•求：(1)收报台收到 “的概率⑵ 收报台收到“”的概率⑶当收报台收到 “ •时.发报台确系发出信号 “ •的概率⑷收 到“”时.确系发出“”的概率 记事件B=｛收到信号 “｝・人=｛发出信号“｝A 2=｛发出信号“”. (1) P(B) =P(A J P(B | AJ P(A 2)P(B | A ?) =0.6 (1-0.2) 0.4 0.1=0.52; (2) P(B) =1-P(B) =1 -0.52 P48;5对以往数据分析结果表明•当机器调整良好时•产品合格率为90%而机器发生某一故障时•产品合格率为30% .每天早上机器开动时•机器调整良好的概率为75% (1)求机器产品合格率•(2) 已知某日早上第一件产品是合格品•求机器调整良好的概率P(A 1|B)二P(AB) P(B)P(AJP(B|A 1)P(B)0.6 0.8 0.52訂923;(4) P(A 2 | B)二P(A 2B) P(B)P(A 2)P(B| A) _ 0.4 0.9 _ 3P(B) 0.48 4= 0.75.记事件B=｛产品合格｝ A=｛机器调整良好｝. (1) 由全概率公式得P(B^ P(A)P(B | A) P(A)P(B|A) =0.75 0.9 0.25 0.3 =0.75,2 2 2(A) P(B|A)=(1-(1 -p)(1 -p)) = p (4 -4p p ), (B) P(B | A) =1 —(1 - p 2)(1 - p 2H P% - p 2), (C) 由全概率公式得P(B) =P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)二 p 卩2(4「4p p 2) (1「p)p 2(2「p 2)=2 p 2 2 p 3「5p 4 2 p 5.第四次作业1 •在15个同型零件中有2个次品•从中任取3个•以X 表示取出的次品的个数•求X 的分布律. P(X 二k): k2上X0 1 2 P22/35 12/351/35☆.经销一批水果•第一天售出的概率是0.5・每公斤获利8元•第二天售出的概率是0.4 每公斤获利5元•第三天售出的概率是0.1 .每公斤亏损3元，求经销这批水果每公斤赢 利X 的概率分布律和分布函数，X-3 5 8 P0.10.40.50, X < -3,F(—3) = P(X = —3)=0.1厂3 兰x£5,F(x)= < F(5) =P(X = —3) + P(X =5) =0.1+0.4 =0.5,5 咗xC8,、F(8) =1,x 沁2 ■抛掷一枚不均匀的硬币•每次出现正面的概率为2/3连续抛掷8次•以X 表示出现⑵由贝叶斯公式得P(A|B)=器L 罟严0.75 0.9 0.75= 0.9.☆系统(A) - (B) - (C)图如下•系统(A). (B)由4个元件组成•系统(C)由5个元件组成•每个 元件的可靠性为p .即元件正常工作的概率为p .试求整个系统的可靠性.正面的次数.求X 的分布律.3 . 一射击运动员的击中靶心的命中率为 0.35 .以X 表示他首次击中靶心时累计已射击 的次数.写出X 的分布律.并计算X 取偶数的概率X LJG(P =0.35), P(X =k) = pq k J 1=0.35 0.65k ‘,k =1,2|“.P(X 奇)+P(X 偶)=1, P(X 奇)=P (X 偶),I q 解得P(X 偶)=」空513L 0.394.1 +q 1 +0.65334 . 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机•调查表明在任一时刻每个刷卡机使用 的概率为0.1求在同一时刻(1)恰有2个刷卡机被使用的概率(2)至少有3个刷卡机被使用的概率•(3) 至多有3个刷卡机被使用的概率(4)至少有一个刷卡机被使用的概率 在同一时刻刷卡机被使用的个数 X LI B(n =4, p =0.1). 2 2 2(1) P(X =2) =C 4 0.10.9 -0.00486,(2) P(X A3) =P(X =3) +P(X =4) =C ：x0.13x0.9+0.14 =0.0037, (3) P(X <3) =1 -P(X =4) =^0.1^0.9999,(4) P(X _1) =1 -P(X =0) h -0.94 =1 -0.6561 =0.3439.5 ■某汽车从起点驶出时有40名乘客•设沿途共有4个停靠站.且该车只下不上•每个 乘客在每个站下车的概率相等.并且相互独立.试求：(1)全在终点站下车的概率 (2)至 少有2个乘客在终点站下车的概率■ (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率 记事件A=｛任一乘客在终点站下车｝乘客在终点站下车人数x LI B(n =40, ^1/ 4).(1 ^0(1) P(X =40)8.2718 10尤14丿⑵ P(X 一2) =1-P(X =0)-P(X =1) =1 -3-C ：。