相关定义：
决策变量的一组取值便构成了线性规划问题的一个解； 满足约束条件的解称为可行解； 所有可行解构成的集合称为可行解集； 使目标函数达到所追求极值的可行解称为最优解； 最优解所对应的目标函数值称为最优值。
二、
线性函数.
线性规划的表现形式
一般形式：目标函数和所有的约束条件都是设计变量的 目标函数：Max (Min）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn 约束条件：
数学规划模型
实际问题中 的优化模型 x~决策变量 数 学 规 划
Min(或Max) z f ( x), x ( x1 ,x n ) s.t. g i ( x) 0, i 1,2, m
f(x)~目标函数 线性规划 非线性规划 整数规划
T
gi(x)0~约束条件
线性规划问题（LP）： 一组线性不等式约束下求线性目标函数 的极大值或极小值问题。
Ⅰ 1 0 3 7.4 0
Ⅳ 1 2 0 7.1 0.3
Ⅴ 0 1 3 6.6 0.8
解：设第一种下料方式用掉x1根管料；
第二种下料方式用掉x2根管料；第三
种下料方式用掉x3根管料；第四种下
料方式用掉x4根管料；第五种下料方
式用掉x5根管料；变量x1 x2 x3 x4 x5 即为决策变量。
数学模型为：
解：设购买A种原料为x1，B种原料为x2，可建立以下
数学模型：
目标函数：Min S = 2x1 + 3 x2
约束条件：
s.t. x1 + x2 ≥ 350
决策变量为：x1, x2
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600 x1 , x2 ≥ 0
s.t. 是subject to的缩写。意思为“满足 于，受约束于”
一、概念的引出
例1：某中药厂用当归作原料制成当归丸与当归膏，
生产1盒当归丸需要5个劳动工时，使用2kg当归
原料，销售后获得利润160元；生产1盒当归膏需
要2个劳动工时，使用5kg当归原料，销售后获得 利润80元；工厂现有可供利用的劳动工时为4000 工时，可供使用的当归原料为5800kg，为避免当 归原料存放时间过长而变质，要求把5800kg当归
建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一 组值表示一个方案；
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确 定最大化或最小化目标；
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题 过程中必须遵循的约束条件
三、线性规划问题的数学模型 • • • • 物 资 运 输 问 题 条 件 下 料 问 题 原 料 搭 配 问 题 生 产 安 排
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2
…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ， x2 ， … ， xn ≥ 0
条件下料问题2
某车间有一批长度为7.4m的同型钢 管，因生产需要，需将其截成长2.9m、 2.1m、1.5m三种不同长度的管料。 若三种管料各需100根，问应如何下 料，才能使得用料最省？写出数学模 型。
分析：
规格/m 2.9 2.1 1.5 合计/m 料头/m 下料方案 方案 Ⅱ Ⅲ 2 0 0 2 1 2 7.3 7.2 0.1 0.2
原料都用掉。问工厂如何安排生产，才能使得两种
产品销售后获得的总利润最大？
解
设工厂生产x1盒当归丸与x2瓶当归膏，
可建立以下数学模型：
max S 160x1 80x 2 5x1 2x 2 4000 2x1 5x 2 5800 x 0, 整数（i 1,2） i
购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所
需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时， 加工每吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工小
时。又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨B原料的价
格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加 工能力的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成 本最低？
210cm的角钢截得3根长60cm的角钢。现
这三种下料方式应该混合使用。
解：设第一种下料方式用掉x1根角钢；
第二种下料方式用掉x2根角钢；第三 种下料方式用掉x3根角钢；变量x1 x2 x3即为决策变量。
数学模型为：
min S x1 x2 x3 2 x1 x2 150 2 x1 3x3 330 x 0, 整数（i 1,2,3） i
条件下料问题1
某家具厂需要长80cm的角钢与长 60cm的角钢，它们皆从长210cm的 角钢截得。现在对长80cm角钢的需 要量为150根，对长60cm角钢的需 要量为330根。问工厂应如何下料， 才能使得用料最省？写出数学模型。
分析：共有三种下料方式，第一种是将1
根长210的角钢截得2根长80cm的角钢； 第二种是将1根长210的角钢截得1根长 80cm和2根60cm的角钢；第三种是将
min S x x x x x
1 2 3 4 1 2 4 5
x 2 x x 100 2 x 2 x x 100 3 x x 2 x 3 x 100 x 0, 整数（ i 1, 2, 3,4,5）
基本线性规划形式
目标函数：
约束条件：
Max（Min)S = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ b2
…… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0
目标函数为：
max S 160x1 80x 2
约束条件为：
5x1 2x 2 4000 2x1 5x 2 5800 x 0, 整数 （i 1,2） i
决策变A，B两种原料至少 350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少