第二章 线性规划的图解法
在管理中一些典型的线性规划应用 • 合理利用线材问题：如何在保证生产的条
件下，下料最少 • 配料问题：在原料供应量的限制下如何获
取最大利润 • 投资问题：从投资项目中选取方案，使投
资回报最大
3
第二章 线性规划的图解法
• 产品生产计划：合理利用人力、物力、财 力等，使获利最大
第二章 线性规划的图解法
• 对于只有两个变量的简单的线性规划问 题，一般采用图解法求解。这种方法仅 适用于只有两个变量的线性规划问题。 它的特点是直观而易于理解，但实用价 值不大。
第二章 线性规划的图解法
1.基本概念 （1）可行解：满足约束条件的决策变量的取值 （2）可行域：可行解的全体 （3）最优解：使目标函数取得最优值的可行解 （4）最优值：最优解代入目标函数所得到的值
决策变量为可控的连续变量。
x 1 ≥ 0，x 2 ≥ 0
x 1 =0,1,2,3…n
目标函数和约束条件都是线性的。
Maxf 7x1 12x2
9x1 4x2 360
s.t.34xx11
5x2 10 x
2
2 ln
x2
1 x3
第二章 线性规划的图解法
9x1 4x2 360
s
.t
.43
x1 x1
5x2 10x
200 2 300
x1, x2 0
第二章 线性规划的图解法
★线性规划模型的三个基本要素： （也是所有规划问题的三个基本要素）：
（1）决策变量：甲、乙产品的产量x1 ，x2 决策变量：需要决策的量，即等待求解的未知数。
（2）目标函数：总收入最大，Max f = 7 x 1 +12 x 2
8—
点）都是可行解。此区域是就是
s.t
.43
x1 x1
5x2 10x
200 2 300
x1, x2 0
Max （maximize最大化）
Min
(minimum)
s.t. (subject to受制于)
第二章 线性规划的图解法
解：设安排甲、乙产量分别为x1 ，x2 ,总收入为
f ， 则该问题的数学模型为：
Maxf 7x1 12x2
s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
第二章：线性规划的图解法
第一节：线性规划问题的提出 第二节：线性规划的图解法 第三节：图解法的灵敏度分析
本章的重点和难点：
1：线性规划的图解法 2：图解法的灵敏度分析
第二章 线性规划的图解法
线性规划的定义
• 求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划 问题。
• 满足线性约束条件的解叫做可行解，由 所有可行解组成的集合叫做可行域。决 策变量、约束条件、目标函数是线性规 划的三要素.
例2.某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，已知生产单位产品所需的设备台 时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制， 如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ 1 2 0 50 元
Ⅱ 1 1 1 100 元
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ 产品才能使工厂获利最多？
• 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作 的需要
• 运输问题：如何制定调运方案，使总运费 最小
第二章 线性规划的图解法
问题1:某工厂计划生产甲、乙两种产品， 生产1kg的甲需耗煤9t、电力4kw.h、油3t； 生产1kg的乙需耗煤4t、电力5kw.h、油10t； 该厂现有煤360t、电力200kw.h、油300t。 已知甲产品每千克的售价为7万元、乙产品每
第二章 线性规划的图解法
例3.用图解法对下列线性规划模型进行求解。
Max Z=2x1+ 3x2 s.t. x1+ 2x2 ≤8
4x1 ≤16 x2 ≤12
x1, x2 ≥0
第二章 线性规划的图解法
图解法求解的步骤： 分别取决策变量X1 , X2 为坐标向量
建立直角坐标系。在直角坐标系里，图 上任意一点的坐标代表了决策变量的一 组值。
千克的售价为12万元。 在上述条件下决定生产方案，使得总收入最
大。
第二章 线性规划的图解法
问题1具体数据如表所示：
资源 单耗
产品
资源 煤(t)
电(kw.h) 油(t)
单位产品价格
甲乙
9
4
4
5
3 10
7 12
资源限量
提出和形成问题
建立模型
360
200
求解
300
结果的分析和应用
第二章 线性规划的图解法
在本例中
决策变量： 甲、乙产品的计划产量，记为x1 ，x2；
总收入记为f,则 f=7x1 +12x2 ，为体现对其求极大化，
目标函数：
在f 的前面冠以极大号Max，
也就是： Maxf 7x1 12x2
资源煤、电、油的数量是有限的，对产品甲
和乙的生产量构成了约束，表示为：
约束条件：
9x1 4x2 360
目标函数：想要达到的目标，用决策 变量的表达式表示。
（3）约束条件：
约束条件：由于资源有限，为了实现 目标有哪些资源限制，用决策变量的 等式或不等式表示。
9x1 4x2 360
s.t.34xx11
5x2 10 x
200 2 300
x1, x2 0
第二章 线性规划的图解法
什么是线性规划模型：
第二章 线性规划的图解法
• 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
• 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
•
2 x1 + x2 ≤ 400
•
x2 ≤ 250
•
x1 , x2 ≥ 0
第二章 线性规划的图解法 • 一般形式 目标函数：Max （Min）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn 约束条件：
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第二章 线性规划的图解法
x2
x1 + 2x2 8
9—
4x1
16
8—
4x2 12
7—
x1、 x2 0
6—
4x1 16
5—
4—
3—
4 x2 12
2—
x1 + 2x2 8
1—
0
|| | | || | | | 12 3 4 5 6 7 8 9
x1
可行解：满足约束条件的解。红
9—
色区域中的每一个点（包括边界