用图解法解线性规划
y
o
x
x -4y≤ - 3 表示的平面区域。 画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域。 x≥1
x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1
在该平面区域上 问题 1：ｘ有无最大(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ ２
y
x=1
C
问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？ ３
x-4y=-3
x－4y＝－3 －
∴
解线性规划问题的步骤： 解线性规划问题的步骤：
画出线性约束条件所表示的可行域； 画 画出线性约束条件所表示的可行域； 2、 移 在线性目标函数所表示的一组平行线 1、
中，用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线； 共点且纵截距最大或最小的直线；
通过解方程组求出最优解； 求 通过解方程组求出最优解； 作出答案。 4、 答 作出答案。 3、
A B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ z ｘ、ｙ满足下列条件 ｘ、ｙ 求ｚ的最大值和最小值。 ｚ
x-4y≤-3 3x+5y≤25， + x≥1
y x=1
C x-4y=-3 4y=-
Ａ
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 4y≤3x+5y≤25 ， x≥1
x-4y=-3
线往右上方平移时z 逐渐增大： 当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时，ｚ最大,即 zmax＝2×5+2＝12 。
o
B
3x+5y=25
Ａ
x
x=1
ｘ、ｙ的不等式 方程）构成的不等式组。 的不等式（ 约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。 线性约束条件：约束条件中均为关于x、 的一次不等式或方程 的一次不等式或方程。 线性约束条件：约束条件中均为关于 、y的一次不等式或方程。 目标函数：欲求最值的关于x、 的一次解析式 目标函数：欲求最值的关于 、y的一次解析式。 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、 的一次解析式 的一次解析式。 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于 、y的一次解析式。 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。 可行解：满足线性约束条件的解（ ， ）。 可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。 可行域：所有可行解组成的集合。 可行域：所有可行解组成的集合。 y 最优解： 目标函数达到最大值 最优解：使目标函数达到最大值 或 最小值 的可 行 解。 设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ C
y
3x+5y=25 x-4y=-3
C
∵
4 .4 2 3 = kAC＝ 1 5 5
k l = -a ∴ ∴ -a
=
3 5 3 5
Ａ B
a=
o
x
x=1
3x +２y≤10 例3：满足线性约束条件 ： 多少个整数解。 多少个整数解。
x+4y≤11 的可行域中共有 x>0 y>0
y
5 4 3 2 1
由题意得可行域如图: 解：由题意得可行域如图 由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 、 可行域中的整点为 (1,2)、(2,1)、(2,2) 、 、 故有四个整点可行解. 故有四个整点可行解
－z 最小，即ｚ最大。 最小， 最大。
x －4y≤－3 3x+5y≤25 x≥1
y
3x+5y=25
2x－y＝0 ＝
C (1,4.4)
平移l 当 经过可行域上点C时 平移l0 ， l0经过可行域上点 时，
－ｚ最大，即ｚ最小。 最大， 最小。
x－4y=－3
o
B
(5,2)
Ａ
x=1
x=1
x
由
点坐标_____； 点坐标_______； 得A点坐标 (5,2) ； 点坐标 由 得C点坐标 (1,4.4) ； 点坐标 3x＋5y＝25 3x＋5y＝25 ＋ ＝ ＋ ＝ zmax＝2×5－2＝8 × ＝ zmin＝2×1－4.4＝ －2.4 ×
ｙ＝ｙ＝-2ｘ+ z 问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形? z 斜率为-2的直线在 的直线在y轴上的截距 斜率为 的直线在 轴上的截距 问题 2: z几何意义是_____________________________。
y
C
l 析: 作直线l0 ：2ｘ+ｙ=0 ,则直线 l： 2 2ｘ+ｙ=z是一簇与 l0平行的直线,故 =z 直线 l 可通过平移直线l0而得，当直
x +4y=11
0
1
2
3
4
5
3x +２y=10
x
例2：已知 、y满ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ：已知x、 满足
x －4y≤－3 3x+5y≤25 x≥1
，设z＝ax＋y (a>0)， 若ｚ ，
取得最大值时，对应点有无数个， 的值。 取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。
解：当直线 l ：y ＝－ax＋ z 与
直线重合时，有无数个点， 直线重合时，有无数个点，使 函数值取得最大值，此时有： 函数值取得最大值，此时有： k l ＝kAC
有关概念
满足下列条件
x-4y≤-3 3x+5y≤25 ， x≥1
x-4y=-3
o
B
3x+5y=25
Ａ
x
求ｚ的最大值和最小值。
x=1
式中变量x、 满足下列条件 例1：设z＝2x－y,式中变量 、y满足下列条件 ： 式中变量 求ｚ的最大值和最小值。 的最大值和最小值。 解：作出可行域如图： 作出可行域如图 当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0 ｚ＝ 时 ＝ 平移l 经过可行域上点A时 平移l0，当l0经过可行域上点 时，