一线性规划图解法1.线性规划的标准形式：(1)目标函数最大；约束条件等式；决策变量非负（x≥0）；资源限量非负（b≥0）。

(2)图解法两个变量系数C1、C2，斜率k=-(C1/C2)(3)图解法K≥0时，绝对值越大越靠近Y轴；K≤0时，绝对值越大越靠近Y轴。

(4)阴影区：无论斜率为正或负，小于的部分阴影区都在线的下方。

二单纯形法1.大M法（1）加入人工变量-Mx i…，M无穷大。

（2）最后将人工变量x i替换出去，且σ≤0.2.两阶段法（1）第一阶段：目标函数为max z′=−x i…，得到最终表。

（2）第二阶段：目标函数替换为原目标函数，在最终表里继续计算σ，直到都小于等于0。

3.单纯表特殊情况的解判断（1）最优解中人工变量大于0，线性规划无解。

（2）某次迭代过程，表中有一个σ＞0，且该列系数向量都小于等于0，线性规划无界。

（因为比较比值大小时都是负的）。

（3）某个非基变量σ=0，无穷解。

（4）退化问题：相同的比值，选择下标大者离基。

σk相同，任选一个入基。

4.初等行变换✓某一行（列），乘以一个非零倍数。

✓某一行（列），乘以一个非零倍数，加到另一行（列）。

✓某两行（列），互换。

三单纯形法灵敏度分析1.对偶问题原问题：max z=cx对偶问题：min f=b T yAx≤b A T y≥c TX≥0 y≥0（1）原问题统一为以上标准型，再进行下一步。

（2）原问题第i个约束条件等号，对偶问题i个决策变量无约束。

（3）原问题第i个决策变量无约束，对偶问题第i个约束条件等号。

（4）原问题的对偶价格为对偶问题的最优解。

（参考习题册第7、19题）（5）对偶价格：常数项增加1单位，目标函数值改进的数量。

（6）影子价格：常数项增加1单位，目标函数值增加的数量。

2.灵敏度分析（1）目标函数变量系数C k:将C k直接代入最终表，判断σ是否小于0。

（2）约束方程常数项b：利用如下公式计算新的最终表中b值。

判断b是否非负。

b j′=B−1∗b j（3）约束方程系数p k：利用如下公式计算新的p k带入最终表，判断σ≤0否。

p k′=B−1∗p k（4）增加一个约束条件：将原最优解带入新约束条件，判断是否满足。

不满足则用对偶单纯形法求解。

（5）对偶单纯形法步骤：前提检验数小于等于0，常数项b有负。

✓常数项b找到最小负值，对应为出基变量。

✓列项，找出a kj为负中σj/a kj最小的值为入基变量。

✓按前两步迭代，直到最终单纯表。

3.对偶问题基本性质（1）对称性。

对偶问题的对偶是原问题。

（2）弱对偶性。

原问题和对偶问题可行解X,Y，有cX≤b T Y。

✓原问题的任一可行解所对应的目标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。

✓若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶问题无可行解。

✓若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原问题无可行解。

✓若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界。

✓若原问题无可行解，则其对偶问题具有无界解或无可行解。

（3）最优性。

若Ｘ*和Ｙ*分别是原问题和对偶问题的可行解，且有cＸ*＝b TＹ*，则Ｘ*，Ｙ*分别是原问题和对偶问题的最优解。

（4）强对偶性。

若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且两者的目标函数值相等。

（5）互补松弛性：线性规划问题最优解中，某约束条件对偶变量值非0，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等式，则对应对偶变量一定为0。

（参考习题册第15、16题）（6）检验数行的相反数是对偶问题的一可行解。

如[-s1,-s2,-x1,-x2]。

（7）B为最终表基变量按100010001顺序对应的初始表向量。

（参考习题册第5题）。

四运输问题1.作业表流程（1）最小元素法✓找表中最小运价，开始划线。

✓如遇产销不平衡表，先找除虚拟地的最小运价。

✓填上某数后，行列同时饱和，只划去一行（列），在保留的列（行）任意格内补一个0。

（2）伏格尔法✓计算表中行和列的最小与次小运费之差，分别列在表的右侧和下方。

✓找出行列中的最大差额，以最大差额同行或同列的最小运价为准划线。

✓重复以上步骤，直到全部填满。

（3）位势法检查检验数✓公式c ij−u i−v j=δij✓右侧第一行为u1=0，填运输量的格检验数为0，以此求出所有检验数。

✓如有检验数小于0的情况，需进行闭回路法调整运量。

（4）闭回路法调整运量✓找出检验数小于0的那个格（有多个找最小的那个）。

✓以此格为起点，水平或垂直划线，找到数字格旋转90°或越过，继续前进最后回到此点。

✓调整运输量：按照奇加偶减原则调整（偶数格减少其中的最小值，奇数格对应增加该值）。

✓调整完，按照位势法重新计算检验数，并重复以上步骤，直到都大于0。

2.注意事项（1）产销平衡的基变量个数为m+n-1个，产销不平衡为m+n个。

（2）有最低最高产或销的题，如下所示，最低要求运价为M，剩余要求运价为0。

如有上限为不限，则不限所剩量=销或产的和-最低要求和。

（参考习题集第12题）五整数规划1.分支定界法（1）先根据线性方程，画出图像，并求出最优解。

最优解为上限，去尾整数解为下限。

（2）找出解中小数最远离整数的值，将其划分为两个整数，以此分支。

并把新的限制条件加入线性规划方程，求出最优解和去尾解。

（3）对比当前级的所有支，上限为所有支的最大值，下限为去尾整数解的最大值，另一支可剔除。

重复上述步骤，直到最后上限=下限值。

（4）表示方式：例L0:Z0=29/6,x1=3/2,x2=10/3.2.指派问题-匈牙利法（1）需要满足三点：✓目标函数求min；✓效率矩阵为n阶方阵；✓效率矩阵中所有元素Cij≥0，且为常数。

（2）变换效率矩阵C，使每行每列至少有一个0，变换后的矩阵记为B ✓行变换：找出每行min值，该行各元素减去它；✓列变换：找出每列min值，该列各元素减去它；✓若某行/列已有0元素，则不用减。

（3）如果○的个数少于n，则进行这一步。

✓对没有圈○的行打“√”；✓在已打“√”的行中，对×所在列打“√”；✓在已打“√”的列中，对圈○的行打“√”；✓重复2和3步骤，直到再也找不到可以打“√”的行/列为止；✓对没有打“√”的行画横线表示去掉这一行，对打“√”的列画线表示去掉这一列，这样就得到能覆盖所有0的最小横线。

（4）变换矩阵B以增加0。

✓在未被直线覆盖的所有元素中找到min；✓然后在打“√”的所有行中减去这个min；✓而在打“√”的所有列中加上这个min，以保持原来0不变(为了消除负元素)；✓得到新的系数矩阵C。

✓返回步骤（2），直到得到n个0元素，即得到最优解（5）求maxZ的指派问题：找出系数矩阵中的max，然后令系数矩阵变为max-系数矩阵各元素值，得到新系数矩阵，按照正常匈牙利法即可求到。

六目标规划1.偏离量、优先因子（1）正偏差变量d+：表示决策值未达到目标值的部分，目标规划里规定d+≥０（2）负偏差变量d-：表示决策值超过目标值的部分，目标规划里规定d-≥０（3）优先因子：也称为优先等级，目标规划中用p k表示。

✓要求恰好达到目标值minz=p(d++d-)✓要求不超过目标值minz=p(d+)✓要求超过目标值minz=p(d-)（4）例题见下2.图解法（1）当优先条件1和2无交集时，计算结束，不再考虑p3。

七动态规划1.几个指标含义（1）决策变量x k：表示第k阶段的状态为s(k)时的决策变量，它是状态变量的函数；（2）状态变量s k：每个阶段开始时所处的自然状态或客观条件。

（3）状态转移方程：确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程。

S k+1和S k 的关系。

（4）阶段指标函数r k(s k,x k)：第k阶段的利润或者费用。

（5）最优指标函数f k(s k)：从第k阶段的状态s k开始到第n阶段的终止状态的过程，采取最优策略所得到的指标函数值。

（6）递推方程举例：{f k(s k)=max0≤x k≤s k{r k(s k,x k)+f k+1(s k+1)} f n(s n)=0(n为初始时第k+1阶段）2.最短路线问题（1）状态S k：阶段k的起点,如图中D1、D2。

（2）决策X k：阶段k的终点，如图中E。

（3）状态转移方程：X k=S k+1，如D1指向E。

（4）阶段指标函数：r k(s k,x k)，如D2到E的距离最短。

（5）指标递推方程：{f k(s k)=min0≤x k≤s k{r k(s k,x k)+f k+1(s k+1)}f n(s n)=min0≤x n≤s n{r n(s n,x n)}3.资源分配问题（1）（2） 状态变量S k ：分配给第K 厂至M 厂的设备台数。

（3） 决策变量X k ：分配给第K 厂的设备台数。

（4） 状态转移方程：S k+1= S k -X k , S m =X m 。

（5） 递推方程：{f k (s k )=max 0≤x k ≤s k {r k (s k ,x k )+f k+1(s k+1)}f n (s n )=0(n =M +1)4. 背包问题（1） 模型：N 个工作日分配给m 个项目，每个项目处理客户数A 、每个客户所需工作日W 。

如何获利最大。

（2） 状态变量S k ：分配给第K 种项目到第M 种项目的工作日。

S 1=10（3） 决策变量X k ：第K 种项目的处理客户的数量，为A 的倍数。

（4） 状态转移方程：S k+1=S k -Wx k 。

（5） 递推方程：{f k (s k )=max 0≤x k ≤s k {r k (s k ,x k )+f k+1(s k −wx k )}f n (s n )=0(n =m +1)5. 生产存储问题k （3） X k ：第k 阶段生产量（4） d k ：第k 阶段需求量。

（5） 状态转移方程：S k+1= S k +X k -d k 。

（6） 阶段指标：r k (s k ,x k )=c k (x k )+m(S k +X k -d k )。

m 为单位存储费，c 为生产费。

（7） 递推方程：{f k (s k )=max 0≤x k ≤s k {r k (s k ,x k )+f k+1(s k +x k −d k )}f n (s n )=0(n =l +1)6. 系统可靠性问题（1） 模型：参考如下表格。

每增加一个科学家，失败概率如表所示。

如何分配盈利 工厂 设备台数k（3）X k：分配给第K小组的科学家数。

（4）状态转移方程：S k+1= S k-X k（5）递推方程：{f k(s k)=min0≤x k≤s k{p k(x k)∗f k+1(s k−x k)}f n(s n)=1(n=4)7.设备更新问题（1）模型：参考：1000台机器分高低负荷使用方式，高负荷完好率0.7，低负荷完好率0.9。