立体与平面解析解析几何
1. 常见多面体：棱柱，棱锥，棱台
常见的旋转体：圆柱，圆锥，圆台，球
平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α
直线一般用小写英语字母a, b, l或者大写字母直线上的两个点AB表示。

点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，
记作
点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A l；
直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。

4. 四个公理
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

符号语言
公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
5. 直线和平面之间的位置关系
★线面平行：
⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行
⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平
面的交线与该直线平行
★面面平行：
⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
★线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

★面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

6. 思考途径
证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为二直线同与第三条直线平行；
（2）转化为线面平行；
证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为线线平行；
（2）转化为面面平行.
证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为线面平行；
（2）转化为线面垂直.
证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为线面垂直；
（2）转化为线与另一线的射影垂直；
证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（2）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（3）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
B
B1
A
D
C
D1
C1
A1
（2）转化为线面垂直.
练习：
1. 点到面的距离：
2. 如图，在棱长为a正方体中，
（1）A到面BCC1B1的距离为______
（2）A到平面BDD1B1的距离为____________
（3）AD到平面BCC1B1的距离为___________
（4）AA1到平面BDD1B1的距离为__________
3. 线面平行的判定：
线面垂直：
4. 已知直线（）
A．异面 B．相交 C．平行 D．不确定
5. 过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平
面（）
A．只有一个 B．至多有两个 C．不一定有 D．有无数个
6.
设E、F、G分别是四面体的棱BC、CD、DA的中点，则此四面
体中与过E、F、G的截面平行的棱（）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
7. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。

如图：（1）证明：PQ∥平面AA1B1B；
（2）求线段PQ的长。

线面垂直
8. 已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD。

若在BC
上有且仅有一个点Q，满足PQ⊥QD，则a的值为 .
9.
如图，已知求证a∥l
B
A
D
C
10. 已知四面体ABCD所有的棱长相等，求证：AB⊥CD
11. 如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与
SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是
点A在直线SB和SD上的射影。

12. 在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的
中心。

求证：A1O⊥平面GBD
13. 如图，已知AC、AB分别是平面a的垂线和斜线，C、B分别是
垂足和斜足，a⊂a，a⊥BC。

求证：a⊥AB
a
a
C
B
A
14. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D
B
B1
A
D
C
D1
C1
A1
面面垂直
15. S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面
SBC,求证AB⊥BC.
16.
如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，
∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点。

求证：（1）直线EFǁ平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
17. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面
VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD。

证明:AB⊥平面VAD
18. 如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点 (1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE.
选择题专项
1、已知、是不同的两个平面，直线，直线．命题与无公
共点；命题．则是的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、在下列条件中，可判断平面与平行的是
A．、都垂直于平面
B．内存在不共线的三点到的距离相等
C．、是内两条直线，且
D．、是两条异面直线，且
3、已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：①若，
则；②若，，则；③若则且；④若则．其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
4、关于直线、、以及平面、，下列命题中正确的是
A．若则 B．若则
C．若且则
D．若则
5、在下列关于直线、与平面、的命题中，真命题是
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
6、已知、是平面，、是直线，下列命题中不正确的是
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
7、设有不同的直线、和不同的平面、、，给出下列三个命题：①若则；
②若则；③若则。

其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
8、已知直线、，平面、，且，给出下列四个命题：①若，则；②若，
则；③若，则；④若，则。

其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
9、已知三条直线、、，三个平面、、，下面四个命题中正确的是
A． B．
C． D．
10、已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且，则下列命题
中的假命题是
A．若，则 B．若，则
C．若、相交，则、相交 D．若、相交，则、相交
11、不同直线、和不同平面、，给出下列命题：①；
②；③异面；④。

其中假命题有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12、已知二面角的大小为，和是两条异面直线，则在下列四个条件中，
能使和所成的角为的是
A． B． C． D．
填空题专项
13、直线和平面、，，，给出如下三个论断：①②③。

从中任取两个作
为条件，其余一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题。

则这个命题可以是
14、、是两个不同的平面，、是平面及之外的两条不同直线，给出四个
论断：①②③④，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
15、若平面,点、,点、,且,又在平面内的射影长为，则和平面所成角的度
数是
16、设有不同的直线、、和不同的平面、、，已知如下命题：①若，
则；②若则；③若则；④若则．其中真命题的序号是。