解： 对 M ： M ＝ T＝ R J
J＝ 1M2R 2
对 m :m T g ma a R
解方程a得 m ： m M2g
v 2ah 4mgh
mg
2mM
v 1 4mgh
R R 2mM
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第3章 刚体力学基础
例9. 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的 水平面上。若它的初速度为o，绕中o心旋转，问经 过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）
z
O
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第3章 刚体力学基础
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
在描述刚体的定轴转动时，采用角量描述最简单。
3.2.1 定轴转动的角量描述
角位置：(t)
角位移：(t)(t0)
角速度： d
x
dt
角加速度：
d
dt
d2
dt2
O
r
P
v
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解： dM dF rdm rg
dm m R22rdr2m R2rdr dr r o R
dM
2mgr2dr
R2
MdM 0r2m R22 gdr r3 2mgR
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M J d
dt
2mgR1m2Rd
3
2 dt
dt 3R d 4 g
t
0
dt
3R d
对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体 列出定轴转动定律方程；
注意利用角量与线量的关系。
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例5: 已知光滑桌面,滑轮半径R,质量为Mc,两物体质 量分别为m1 m2 ,求两物体的加速度和绳的张力.
m2
a
m1
g
m1 解:
m1 m 2
T m 1m 2 g
N 16.581720r261820 r
2π
2π
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§3.3 刚体绕定轴转动定律
质 点 或 刚体平动 的运动定律
F = ma
合外力
惯性质量 合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩
刚体的转动定律
刚体的转动惯量
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3.3.1、力对转轴的力矩 (2)
(1) Z Mz
OdrP f
转动平面
M zrf
Mz frsin 方向如图
Z
f
f1
O
f2
rP
转动平面
f f1f2
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F ir isi i n f ir isii n m ir i2
外力矩
内力矩
刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．
Mij
rj
j
O
dri
i Fji
Fij
Mji
MijMji
一对内力的力 矩之和为零
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F ir isi i n f ir isii n m ir i2
I = m R2
匀质细圆环
转轴沿着
环的直径
I=
m R2 2
第3章 刚体力学基础
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
I
=
m 2
(R12 +
R22
)
匀质圆柱体
转轴通过中心
垂直于几何轴
I=
m 4
R2 +
m 12
L2
匀质薄球壳
转轴通过球心
I=
2 m R2 3
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3.3.4 刚体定轴转动定4 g
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§3.4 刚体绕定轴转动的功能关系
3.4.1 刚体绕定轴转动的转动动能
在刚体上任取一质点Pi
z
质点Pi的动能为 Eki 12Δmivi2 12Δmiri22
，
R3 sin3d
J ( 1 R5 sin5 )d 02
8 R5 2 mR2
15
5
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z r
y R O
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*平行轴定理： 以JC表示相对通过质心的轴的转动惯 量，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对 其转动惯量为J，
00t12t2
2 0 2 2 0
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例 电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0 = 0，经150s 其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与时间t的平
方成正比。 求 在这段时间内，转子转过的圈数。 解 根据题意，设 kt2（k为比例常量）
由角加速度的定义，有
3.3.2、刚体绕定轴转动定律
对 mi用牛顿第二 定律：
F ifim ia i
切向分量式为：
Fisini+fisini= miait
z
fi O ri i
mi
ait=ri 两边乘以ri
F ir isi i n f ir isii n m ir i2
Fi i
外力矩
内力矩
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用 M 表示合外力矩
则有 MJ
刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩 等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
刚体定轴转动的转动定律
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3.3.3 、转动惯量
定义： J Δmiri2 （质量离散分布）
i
若质量连续分布 J r2dm
质量为线分布
质量为面分布
1 3
mLL2
Jo
2 5
mo
R2
mO
J L 2 J 0 m 0 d 2 J 0 m 0 ( L R ) 2
J1 3m L L 25 2m oR 2m o(L R )2
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匀质矩形薄板
转轴通过中
心垂直板面
I=
m 12
(a2 + b2
)
匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
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2.1 平动：运动过程中刚体内任意一条直线在运动 过程中始终保持方向不变。 特点：刚体内所有质元具有相同的位移、速度和加 速度。
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2.2 转动：刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。 若转轴固定不变，则称为定轴转动。 特点：刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和 角加速度。
质量为体分布
dm dl
dmds dmdV
为质量的线密度 为质量的面密度 为质量的体密度
线分布
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面分布
体分布
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刚体的转动惯量与下列因素有关： （1）与刚体的体密度有关。
J r2dm
（2）与刚体的几何形状(即体密度的分布)有关。
（3）与转轴的位置有关。
单位 ∶ kg m2
则有：J＝JC＋md2。
d
C mO
这个结论称为平行轴定理。
*叠加原理：对某一转轴的总转动惯量＝各部分物 体对同一轴的转动惯量之和
J=JA+JB+JC＋…
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例4、 右图所示刚体对经 过棒端且与棒垂直的轴的转
mL
动惯量如何计算？(棒长为L、
圆半径为R）
JL1
第3章 刚体力学基础
第一类问题 —— 微分问题
已知刚体转动运动方程 = (t)，求角速度、角加速度
d dt
d
dt
d2
dt2
第二类问题 —— 积分问题
已知角速度或角加速度及初始条件，求转动运动方程 = (t)
0
t dt
0
0
tdt
0
对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度 = 常量，有
0t
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dkt2
dt
分离变量并积分，有
d tkt2dt
0
0
t 时刻转子的角速度为
1 kt 3 3
当t =150s，转子的角速度为 2 π 12r0 a s0 -1 d 0 4π 0r 0 sa -1 d
60
则有
k
3 t3
3 145 30 πr00 as-d 41 3 0 ras-d 4
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➢ 角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向 沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。
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3.2.2 角量和线量的关系
vr
at r
an 2rv
矢量表示：
x
v r
a r 2 r
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O
r
P
v
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3.2.3 刚体定轴转动运动学的两类问题
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第3章 刚体力学基础
例6、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ 的定滑轮（当作均匀圆盘）上面 绕有细绳，绳的一端固定在滑轮 边上，另一端挂一质量为ｍ的物 体而下垂。忽略轴处摩擦，求物 mg 体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度 和此时滑轮的角速度。