EA
N1
图示为两端固定的等
P
N2
截面杆(超静定杆)，
x ab
设材料为理想弹塑性材料，
在x = a 处（b a）作用一
逐渐增大的力P。
s
平衡条件 : N1+N2=P
变形协调条件：a+b=0
o s
理想弹塑性模型
2020/4/15
14
§11-2 一维问题弹塑性分析
（1）弹性解：
当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为
s(1E E t)E t s(1)E t Et E1
2020/4/15
10
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
在实际问题中，有时当弹性应变 e p 塑
性应变，可忽略弹性变形。
上述两种模型分别简化为： s 时, = 0
s =s
Et
s
s+Et
o
理想刚塑性模型
o
线性强化刚塑性模型
是一一对应关系，而要考虑加载变形历史。
（3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料， 屈服条件采用初始屈服条件。对于无明显屈服流 动且强化阶段较高的材料，将有后继屈服函数产生。
（4）有些强化材料具有包辛格效应。
2020/4/15
8
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.2 常见的几种简化力学模型
35
§11-2 一维问题弹塑性分析
极限弯矩 Mp = s (S1 + S2 )
S1 和S2 分别为面积A1和A2对等面积轴的静矩。
作业：已知理想弹塑性材料的屈服极限为 s ,
试求(1)图示梁截面的极限弯矩 Mp ,（2）当M / Me =1.2 时， y0 的值为多少 ?
a) y
b) a y
a
z
a
2020/4/15
27
§11-2 一维问题弹塑性分析
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ),
或
M EI
将应力与弯矩关系式 My 代入上式,可得
I
Ey
2020/4/15
28
§11-2 一维问题弹塑性分析
在弹塑性阶段，由于梁弯曲 时截面仍然保持平面，可得
1）在线弹性阶段
P
固定端弯矩最大，
A l/2 C l/2
B
MA 362PlMe
6Pl/32
P
A
C
B
2）在弹塑性阶段：固定
5Pl/32
端首先发生塑性区域， 随着荷载增加、固定端 MP
Pe<P<PP
成为第一个塑性铰。
A
C
B
2020/4/15
38
§11-2 一维问题弹塑性分析
3）极限状态
P
固 定 端 弯 矩 保 A l/2 C l/2
2020/4/15
30
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
-
+
+ -
+ +
s
- = +-
s
M I
y
y y0
x
y
s 0
y M I
y
y0 y y0
s
M I
y
y y0
2020/4/15
31
§11-2 一维问题弹塑性分析
2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
M
x
y
b
M
z
h
y
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点： 随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。
1
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.1 单 向 拉 压 实 验 ：
不同材料在单向拉压实验中，有不同的 应力－应变曲线。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
软钢 -
o O’
p e
合金钢 -
2020/4/15
2
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
C
软钢 - s A B
截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
2020/4/15
26
§11-2 一维问题弹塑性分析
Me
s
bh2 6
MMp
sbh2
4
截面弯矩达到极限弯矩时，其附近无限靠
近的相邻两截面可发生有限相对转角，该截面
称为塑性铰。
对于静定梁，截面弯矩达到极限弯矩时，
结构变成机构，承载力已无法增加。这种状态 称为极限状态。
2020/4/15
23
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
s
+ h/2
s
y0 y0
+
s
y
x
s
y y0
M
AxydA2b
0y0s
y y0
ydy
yh02sydy
当y0=h/2b时s：h42M y302M ebsh42 1 h22sb 6h2
——最大弹性弯矩
2020/4/15
24
§11-2 一维问题弹塑性分析
1. 理想弹塑性模型：
加载时： =E = s
s s
s
o s
理想弹塑性模型
2020/4/15
9
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
2. 线性强化弹塑性模型：
加载时： =E s
Et
s
E
= E s+ Et ( - s ) s o s
sE t(s) sE E tE (s)线性强化弹塑性模型
o
p
e
p
e
’s s
A
BC
合金钢 -
o
O’
p e
当应力－应变曲线在OA范围内变化，材料
为弹性变化。当应力达到 s时（软钢有明显
屈服发生(AB段），合金钢无明显屈服发生） 将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的
条件为
2020/4/15
3
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数）
力P 作用点的伸长为
e
N1a Pea sa
EA (1a)EA E
b
2020/4/15
16
§11-2 一维问题弹塑性分析
(2)弹塑性解Pp P Pe : P = Pe 后，P 可继续增大，而 N1=sA 不增加
（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形
s
s
s
+ h/2
s
y0 -
-
y0 +
s
y
x
s
y y0
+
s
M
AxydA2b
0y0s
y y0
ydy
h2
y0
sydy
bsh42
y02 3
当y0=
0时：MMp
sbh2
4
——极限弯矩
2020/4/15
25
§11-2 一维问题弹塑性分析
Me
s
bh2 6
MMp
sbh2
4
令 =Mp/Me=1.5（矩形截面） —— 截面形状系数。
2020/4/15
34
§11-2 一维问题弹塑性分析
b
F2
s
-
-
-
h
z
+
+ F1
+
y
s
s
s
在塑性流动阶段：受拉区应力和受压区应力均为 常数，中性轴的位置由截面上合力为零来确定:
F1 = F2 或 s A1 = s A2
得 A1 = A2 ——中性轴的位置由受拉区截面面
积等于受压区截面面积确定。
2020/4/15
a
N1a EA
b
N2b EA
代入变形协调方程为
N1a N2b 0 或
EA EA
N2
N1
a b
由于b a，所以 N1 N2 ，将 N2N1ab
代入平衡方程。
2020/4/15
15
§11-2 一维问题弹塑性分析
得 N1P/1 (ab) N 2(P ab)(1ab)
最大弹性荷载
P e N 1 ( 1 a b )sA ( 1 a b )
s 或
Ey 0
s
y0 y0
+
s
y
x
s
y y0
y0
s E
代入梁弹塑性弯曲时M的表达式
M
bs
h2 4
y02 3
得
2020/4/15
29
§11-2 一维问题弹塑性分析
Mbs
h2 4
13Es 2
M Mp Me
( M Me )
o e
(3) 梁弹塑性弯曲时的卸载：
卸载是以线弹性变化，卸载后梁截面的弯 矩M=0, 但截面内的应力不为零，有残余 应力存在。以矩形截面为例：
bN E2bA (PE sA A)b
ห้องสมุดไป่ตู้
2020/4/15
17
§11-2 一维问题弹塑性分析
bN E2bA (PE sA A)b
P esA (1ab) sAP e (1ab) P P e(1 ab )bP a (P P e)b
EA E(1 A ab )
2020/4/15
18
§11-2 一维问题弹塑性分析