2016中考数学预测押题--专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。
旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。
经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。
中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。
原创模拟预测题1.如图，直线l：y=+y轴交于点A，将直线l绕点A顺时针旋转75º后，所得直线的解析式为【】A ．y =B ．y x =+C ．y x =-+D ．y x =-【答案】B 。
【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
故选B 。
原创模拟预测题2. 根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l 1的函数表达式为y x 1=+，直接写出：①过原点且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式；②过点（1，0）且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式；（2）如图，过点（1，0）的直线l 4向上的方向与x 轴的正方向所成的角为600，①求直线l 4的函数表达式；②把直线l 4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l 5，求直线l 5的函数表达式；（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线11y x 55=-垂直的直线l 6的函数表达式。
【答案】（1）①y x =-。
②y x 1=-+。
（2）①设直线l 4的函数表达式为11y k x b =+（k 1≠0），∵直线l 4向上的方向与x 轴的正方向所成的角为600，∴k 1=tan6003。
又∵直线l 4经过点（1，0），∴103b =，即1b 3=-∴直线l 4的函数表达式为y 33=。
②∵l 4与l 5的夹角是为900，∴l 5与x 轴的夹角是为300。
设l 5的解析式为22y k x b =+（k 2≠0），∵直线l 5与x 轴的正方向所成的角为钝角，∴k 2=－tan300=又∵直线l 5经过点（1，0），∴20b =，即2b∴直线l 5的函数表达式为y =。
（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系， ∴过点（1，1）且与直线11y x 55=-垂直的直线l 6的函数表达式为y 5x 6=-+。
【考点】一次函数综合题，旋转问题，探索规律题（图形的变化类），待定系数法的应用，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）根据题意可直接得出l 1、 l 2的函数表达式。
原创模拟预测题3. 有两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG 其直角边长均为6（如图1所示）叠放在一起，使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点顺时针旋转，旋转角满足0＜º＜90º，四边形CHGK 是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图2）．（1）在上述旋转过程中，①BH 与CK 有怎样的数量关系？②四边形CHGK 的面积是否发生变化？并证明你发现的结论．（2）如图，连接KH ，在上述旋转过程中，是否存在某一位置使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的185？若存在，请求出此时KC 的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ①BH=CK ，②不变；（2）x=2或x=4【解析】试题分析：（1）先由ASA 证出△CGK ≌△BGH ，再根据全等三角形的性质得出BH=CK ，根据全等得出四边形CKGH 的面积等于三角形ACB 面积一半；（2）根据面积公式得出93212+-=-=x x S S S CKH CKGH GHK △四边形△，根据△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的185，代入得出方程即可求得结果．（2）假设存在使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的185的位置． 设BH=x ，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x ，CH=CB-BH=6-x ，221321x x CK CH S CKH -=⋅=∴△， 93212+-=-=∴x x S S S CKH CKGH GHK △四边形△， ∵△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的185， 662118593212⨯⨯⨯=+-∴x x ， 解得x=2或x=4，∴存在使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的185的位置，此时x 的值为2或4. 考点：本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定点评：解答本题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．原创模拟预测题4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=2．将△ABC绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为▲ ．【答案】34 。
【考点】扇形面积的计算，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，转换思想的应用。
原创模拟预测题5.如图1，把边长分别是为4和2的两个正方形纸片OABC和OD′E′F′叠放在一起．（1）操作1：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转45°得到正方形ODEF，如图2，连接AD、CF，线段AD与CF之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；（2）操作2，如图2，将正方形ODEF沿着射线DB以每秒1个单位的速度平移，平移后的正方形ODEF设为正方形PQMN，如图3，设正方形PQMN移动的时间为x秒，正方形PQMN与正方形OABC的重叠部分面积为y，直接写出y与x之间的函数解析式；（3）操作3：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转90°得到正方形OHKL，如图4，求△ACK的面积．【答案】（1）相等见解析（2）见解析（3）8⑤x≥4时，y=0．（3）连接OK，∵∠COK=∠ACO=45°，∴OK∥AC，∴S△ACK=S△AOC=8．（1）根据旋转的性质得到∠AOB=∠COF，然后证得△AOD≌△COF后即可证得AD=CF；（2）分当0≤x≤4﹣4时、当4﹣4≤x≤2时，2≤x≤4﹣2时、4﹣2≤x≤4时、x≥4时五种情况列出两个变量之间的函数关系式即可；（3）连接OK，利用内错角相等得到OK∥AC，然后得到S△ACK=S△AOC=8．原创模拟预测题6.把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为．【答案】，①根据弧长公式列式进行计算即可得解；原创模拟预测题月7.如图，正六边形的边长为π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在正六边形外部按顺时针方向沿正六边形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了【】A．4周B．5周C．6周D．7周【答案】B。
【考点】多边形内角和定理，直线与圆的位置关系。
【分析】该圆运动可分为两部分：在正六边形的六边运动以及绕过正六边形的六个角，分别计算即可得到圆的自转周数：原创模拟预测题8. 已知抛物线C ：()2y ax bx c a 0<=++过原点，与x 轴的另一个交点为B(4，0)，A 为抛物线C 的顶点，直线OA 的解析式为y =，将抛物线C 绕原点O 旋转180°得到抛物线C 1，求抛物线C 、C 1的解析式。
【答案】如图，过A 作AE ⊥OB 于E ，∵ 抛物线C ：()2y ax bx c a 0<=++过原点和B(4，0)，顶点为A ，∴ OE=12OB=2。
又∵ 直线OA 的解析式为3y =，∴ 点A 的坐标为(2) 。
设抛物线C 的解析式为2y a(x 2)0)=-+<。
将（0，0）代入2y a(x 2)0)=-+<中，得 a =，∴ 抛物线C 的解析式为2y 2)=-，即2y =。
又∵抛物线C 1是由抛物线C 绕原点O 旋转180°得到，∴ 抛物线C 、C 1关于原点对称。
∴抛物线C 1的顶点坐标A 1为(2,-- 。
∴抛物线C1的解析式为2y。
=+2y2)【考点】二次函数图象的对称性，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，旋转的性质。
原创模拟预测题9.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG 在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长；（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】（1）理由见试题解析；（2（3）6．（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到DG=BE，如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，在直角三角形AMD中，求出AM的长，即为DM的长，根据勾股定理求出GM的长，进而确定出DG的长，即为BE的长；（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△BDH的高最大，即可确定出面积的最大值．试题解析：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，在△ADG和△ABE中，∵AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD=∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°，∴∠AEB+∠ADG=90°，在△EDH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，∴∠DHE=90°，则DG⊥BE；（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6．考点：1．几何变换综合题；2．最值问题；3．综合题；4．压轴题．原创模拟预测题10.如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．（1）求证：AM=BN；（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）13．（2）∵MA∥CN，∴∠AC N=∠CAM，∵∠ACN+∠ACM=90°，∴∠CAM+∠ACM=90°，∴∠AMC=90°，∴cosα=13 CM CEAC AC==．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．旋转的性质；3．锐角三角函数的定义．。